(Cap 15.3 – Ex 37) Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y   d y   d x

Passo 1

Falaiii gurizadaa, baum por dimais da conta?

Simbora pra mais um?

O problema fornece para gente uma integral iterada e queremos saber qual é o sólido cujo volume é dado por ela.

Vamos lembrar que o volume de um sólido limitado pelo plano x y e uma superfície dada pela função z = f x ,   y é a integral dupla dessa função num determinado domínio.

Vamos identificar primeiro o domínio no plano x y . Observe que x varia entre 0 e 1 enquanto y varia entre 0 e 1 - x . Assim, o domínio de integração é representado por

Passo 2

Com isso, o sólido será a região abaixo da superfície z = 1 - x - y sobre a região pintada em vermelho do passo anterior (no plano x y ). A seguir, represento o domínio de integração em três dimensões:

Agora temos que olhar para a superfície z = 1 - x - y . Trata-se de um plano e quando x = y = 0 (eixo z ), temos z = 1 . Além disso, quando y = 1 - x , temos z = 0 . Esse plano corta o plano x y exatamente na reta y = 1 - x . Com isso, podemos desenhar o sólido:

Trata-se de um tetraedro trirretângulo.

Resposta

Esboço de gráfico.

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Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .