Use uma integral dupla para calcular a área das seguintes regiões. Faça um esboço da região.

a) A região no primeiro quadrante limitada por y = e x e x = ln ⁡ 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da região entre as curvas y = e x e x = ln ⁡ 2 . Vamos começar fazendo o esboço da região, pra gente entender como é essa área.

Como ele quer apenas no primeiro quadrante, nossa região vai ser essa em amarelo. Repare que nossa região é limitada horizontalmente pelo eixo y ( x = 0 ) e pela reta x = ln ⁡ 2 . E a região é limitada verticalmente pelo eixo x ( y = 0 ) até a curva y = e x , certo? Então, esses vão ser nossos limites de integração.

A fórmula do cálculo de área usando integral dupla é dada por:

A = ∬ R d A

Onde R é a nossa região de integração.

Vamos lá!

Passo 2

No passo 1 , nós vimos que nossos intervalos de integração serão:

0 ≤ x ≤ ln ⁡ 2

0 ≤ y ≤ e x

Assim, temos a integral de área:

A = ∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ 0 e x d y d x

Integrando primeiro em relação a y , temos:

A = ∫ 0 ln ⁡ 2 y 0 e x d x

Aplicando os limites de integração em y :

A = ∫ 0 ln ⁡ 2 e x - 0 d x = ∫ 0 ln ⁡ 2 e x   d x

Integrando agora em relação a x , vamos ter:

A = e x 0 ln ⁡ 2

Aplicando os limites de integração em x :

A = e ln ⁡ 2 - e 0

Como a função exponencial é a inversa do logaritmo natural, temos que e ln ⁡ 2 = 2 . E qualquer número elevado a 0 é igual a 1 . Então:

A = 2 - 1

E temos nossa área:

A = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 1

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