Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 4b

  1. Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W limitado por:

b )   x = 0 ,         z = 0 ,         x + y = 9             e             z = 9 - y 2

Passo 1

Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido W . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?

Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui essas duas mais fáceis. Veja!

  1. x = 0 nos representa o próprio plano Y Z :
  2. Assim como a anterior, z = 0 é o plano X Y :

Agora, essa superfície x + y = 9 , desenhamos um pouco diferente. Acompanha-me!

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Passo 2

Para superfície que só dependem de duas incógnitas como x + y = 9 , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, x + y = 9 , note no plano X Y nos representa uma reta e que vou desenha-la aqui pra você ohhh:

Colocando esse mesmo plano no espaço...

Pois bem! Agora como essa equação não depende de z , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo z , saca? Então essa é a superfície:

No caso... É um plano !

Passo 3

Agora façamos o mesmo com essa outra superfície, z = 9 - y 2 ! Vamos lá! Agora pra ver se você entendeu como desenhar esse tipo de superfície, heim!

Primeiro devemos...?

desenhar a equação no plano (no caso no plano Y Z ):

Depois devemos...?

“Puxar” essa reta em torno do outro eixo (no caso aqui é o X ):

E prontinho! Esse é a superfície que carinhosamente chamamos de cilindro parabólico.

Passo 4

Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas 4 coisas juntas. Assim, o nosso sólido é...

esse cara apontado por esta seta !

Passo 5

Para se calcular o volume desse pedacinho W , como você já sabe, devemos aplicar a fórmula do volume:

V W = D   f x , y d V

Onde se percebe que precisamos obter algumas informações cruciais para matar a questão:

  • Precisamos saber quem é essa função f ( x ,   y ) a ser integrada.
  • Além disso, precisamos saber quem é a região D de integração.

Para ambas as questões, basta que olhemos para o sólido W novamente e com mais cautela:

Repare que a função que devemos integrar, f x , y , é exatamente esse cilindro parabólico que é o teto do sólido, W , percebeu?

f x , y = z = 9 - y 2

Enquanto que a região de integração nada mais é do que a sombra desse “teto” no plano X Y , o que formalmente chamamos de projeção no plano! Veja ;0

Ou melhor...

Essas retas vermelhas são facilmente obtidas fazendo a intercessão do cilindro vermelho,   z = 9 - y 2 , com o plano z = 0 :

9 - y 2 = 0                   y 1 = - 3 y 2 = 3

Descrevendo então essa região D aí... (nesse caso pode ser como do tipo 2 ):

- 3 y 3

enquanto isso...

R e t a   a z u l x R e t a   v e r d e

0 x 9 - y

Substituindo esses dados na integral dupla, ganhamos...

V W = D   f x , y d V = - 3 3 0 9 - y 9 - y 2 d x d y

Passo 6

Para resolver essa integral, calculemos primeiro a integral de dentro...

- 3 3 0 9 - y 9 - y 2 d x d y = - 3 3 0 9 - y 9 - y 2 d x d y

como 9 - y 2 é uma função que só depende de   y , ela pode cair fora da integral de dentro...

- 3 3 0 9 - y 9 - y 2 d x d y = - 3 3 9 - y 2 0 9 - y 1 d x d y =

- 3 3 9 - y 2   x 0 9 - y d y

substituindo os limites em y ...

- 3 3 9 - y 2 9 - y d y =

- 3 3 81 - 9 y - 9 y 2 + y 3   d y =

Integrando...

81 y - 9 y 2 2 - 9 y 3 3 + y 4 4 - 3 3 = 9 2 y - 9 y 2 2 - 9 y 3 3 + y 4 4 - 3 3 =

substituindo...

3 4 3 - 3 2 3 2 2 - 3 3 3 + 3 4 4 - 3 4 - 3 - 3 2 - 3 2 2 - 3 - 3 3 + - 3 4 4 =

simplificando tudo...

2 3 5 - 2 3 3 3 = 2 3 4 3 - 1 =

2 2 3 4 = 324

Resposta

324

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