Calcule o volume do solido abaixo do paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e acima do retângulo delimitado pelos planos x = 1 ,   x = - 1 ,   y = 0 ,   y = 4

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu a equação de um paraboloide

z = 2 + x 2 + y - 2 2

E pediu para calcularmos o volume que está compreendido embaixo dessa superfície e delimitado por um retângulo

x = 1 ; x = - 1

y = 0 ; y = 4

Para calcular vamos usar uma integral dupla, pois é como se fizéssemos área da base vezes altura, e no nosso caso a altura é a equação do paraboloide

Para um retângulo, o diferencial de área é

d A = d y d x

E nossa altura

h = f x , y = z

então a ideia é montar a integral, resolver primeiro em y , aplicar os limites. Depois integrar em x e por fim aplicar nos limites

no final precisamos ter apenas um número! Nada de sobrar variáveis heim!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar montando a integral:

d A = d y d x

Os limites:

x = 1 ; x = - 1

y = 0 ; y = 4

E a altura:

h = 2 + x 2 + y - 2 2

aí o volume é:

V = ∬ h x , y d y d x

∫ - 1 1 ∫ 0 4 ( 2 + x 2 + y - 2 2 ) d y d x

Agora é #partiu integrar!

Passo 3

Primeiro a integral mais interna, em y :

∫ - 1 1 2 y + x 2 y + y - 2 3 3 0 4 d x

E agora é aplicar os limites! Mas aqui atenção, vamos aplicar em y ! Aí temos:

∫ - 1 1 8 + 4 x 2 + 16 3 d x

E agora #partiu integrar em x :

= ∫ - 1 1 [ 4 x 2 + 40 3 ] d x = 4 x 3 3 + 40 x 3 - 1 1 = 4 3 + 40 3 - 40 3 - 1 + 4 3 - 1 3

= 44 3 + 40 3 + 4 3 = 88 3

E é isso!

Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

88 3

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