(Cap 15.2 – Ex 29) Encontre o volume do sólido delimitado pela superfície z = x sec 2 ⁡ y e pelos planos z = 0   ,     x = 0   ,     x = 2   ,     y = 0 e y = π 4 .

Passo 1

E ai meus amores, tudo bem?

Bora pra mais uma?

Encostaa!

O enunciado nos dá a seguinte surprefície

z = x sec 2 ⁡ y

E os planos

z = 0   ,     x = 0   ,     x = 2   ,     y = 0 e y = π 4 .

Acordado com a figura a seguir

Passo 2

Pessoal, pra determinar o volume desse sólido, primeiro precisamos escrever uma integral dupla que o descreva, que será:

V = ∫ ∫ z x ,   y   d x   d y

Pra achar os limites de integração, olhamos para os planos que delimilitam o sólido:

V = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 z x ,   y d x   d y

Obtemos z a partir da equação da superfície:

V = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 x sec 2 ⁡ y d x   d y

E agora é só resolver!

Passo 3

Quando temos uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, primeiro com relação a uma das variáveis e depois com relação à de fora:

∫ 0 π 4 ∫ 0 2 x sec 2 ⁡ y d x   d y

= ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 x sec 2 ⁡ y d x d y

= ∫ 0 π 4 x 2 2 sec 2 ⁡ y 0 2 d y

= ∫ 0 π 4 2 2 2 sec 2 ⁡ y - 0 2 2 sec 2 ⁡ y d y

= ∫ 0 π / 4 2 sec 2 ⁡ y   d y

Passo 4

Agora, é só resolver a integral

∫ 0 π 4 2 sec 2 ⁡ y   d y

= 2 t g   y 0 π 4

= 2 t g π 4 - t g   0

= 2 1 - 0 = 2

Beleza?

Resposta

P o r t a n t o ,   o   v o l u m e   d o   s ó l i d o   é   2 .

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