Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UERJ - Cálculo 2 - Selecionados Lista 21 - 4b

Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:

z = x + y

y = x 2

y = 2 x

Passo 1

Antes de tudo, vamos desenhar essa região para entender melhor o problema. Temos um plano z = x + y , um cilindro de base parabólica y = x 2 e um plano y = 2 x .

Para o cilindro, é uma boa você desenhar a parábola y = x 2 no plano x y e depois repeti-la ao longo do eixo z (afinal, a coordenada z não está presente na equação, o que significa que ela vale para qualquer z ). Para o plano y = 2 x , fazemos o mesmo, desenhamos a reta y = 2 x no plano x y e a repetimos ao longo do eixo z . O outro plano, z = x + y , já é mais chatinho de desenhar, mas como isso aqui é só um esboço, você pode desenhar um plano qualquer, é só para termos uma noção da região mesmo.

No plano x y , a região é limitada pelo cilindro e pelo plano verde e na coordenada z , limitada pelo plano azul. Como não há mais informações para limitar a coordenada z , vamos assumir que z 0 , para continuarmos o problema.

Nossa região é então a que está entre as superfícies vermelha e verde e abaixo do plano azul:

Chamando de W essa região que acabamos de analisar, o problema pede então volume W .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora precisamos escrever matematicamente essa região. Como podemos ver, na coordenada z ela está limitada pela equação do plano azul z = x + y e pelo plano z = 0 , enquanto no plano x y ela é limitada pela seguinte àrea:

Essa seria a região vista de cima, percebeu? O plano verde virou uma reta y = 2 x e o cilindro de parábola virou uma parábola y = x 2 . Certo, então vamos escrever o seguinte:

W = { ( x , y , z ) | x , y D ;   0 z x + y }

volume W = D   x + y - ( 0 ) d A

volume W = D   x + y d A

Onde D é essa área que acabamos de ver acima.

Passo 3

Agora precisamos escrever matematicamente essa área, como em qualquer integral dupla que já fizemos.

Vamos enxergar essa área como região do tipo I, limitada na coordenada y por funções (a equação da parábola e da reta) e em x por números.

Como em y a área está entre a equação da parábola e a da reta, temos que:

x 2 y 2 x

Agora vamos ver a coordenada x . Pela figura, vemos que x varia desde a origem x = 0 até o encontro da reta com a parábola, que acontece em x = 2 (para ver isso, basta substituir uma equação na outra). Então temos:

0 x 2

Beleza, então vamos escrever essa área D assim:

D = ( x , y | 0 x 2 ; x 2 y 2 x }

Passo 4

Agora vamos substituir na integral esses intervalos que encontramos:

volume W = 0 2 x 2 2 x x + y d y d x

Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que acompanhar os intervalos da integrais.

Passo 5

Agora em relação a y :

= 0 2 x y + y 2 2 x 2 2 x d x =

= 0 2 2 x 2 + 2 x 2 - x 3 + x 4 2 d x =

= 0 2 4 x 2 - x 3 - x 4 2 d x =

Passo 6

Finalmente, em relação a x :

= 4 x 3 3 - x 4 4 - x 5 10 0 2 =

= 32 3 - 4 - 16 5 =

= 52 15

Resposta

volume W = 52 15

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas