(Cap 15.2 – Ex 26) Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z = 3 y 2 - x 2 + 2 e acima do retângulo R = - 1,1 × - 2,2 .

Passo 1

Falaaai pessoal, tudo certinho?

Bora resolver essa comigo?

Encostaaa

Iremos avaliar o volume do sólido que se encontra sob o paraboloide hiperbólico z = 3 y 2 - x 2 + 2 e acima do retângulo R = - 1 ,   1 × [ 1 ,   2 ] .

Pelo Teorema de Fubini:

Se f é continua no retângulo

R = x , y   a ≤ x ≤ b ,   c ≤ y ≤ d }  

Portanto

∬ R f x . y d A = ∫ a b ∫ c d f x ,   y d y d x = ∫ c d ∫ a b f x ,   y d x d y

Passo 2

Para avaliar o volume usando o Teorema de Fubini, temos que obter o volume como

V = ∬ R z   d A

∬ R 3 y 2 - x 2 + 2 d A

= ∫ - 1 1 ∫ 1 2 3 y 2 - x 2 + 2 d y d x

= ∫ - 1 1 y 3 - x 2 y + 2 y 1 2 d x             d e s d e   ∫ y n d y = y n + 1 n + 1

Passo 3

Portanto

= ∫ - 1 1 8 - 2 x 2 + 4 - 1 - x 2 + 2 d x

= ∫ - 1 1 ( 9 - x 2 ) d x

= 9 x - x 3 3 - 1 1       d e s d e         ∫ x n d x = x n + 1 n + 1

= 9 - 1 3 - - 9 + 1 3

= 18 - 2 3

= 52 3

Portanto, o volume necessário é V = 52 / 3  

Resposta

Portanto, o volume necessário é:

V = 52 3

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.
Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .