Determine o volume do sólido dado.

b) Limitado pelos planos coordenados e pelo plano z = 8 - 2 x - 4 y .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume limitado pelos planos coordenados e pelo plano z = 8 - 2 x - 4 y . Os planos coordenados são os planos formados entre os eixos, podemos dizer que são os planos x = 0 , y = 0 e z = 0 .

Nós sabemos que o volume é definido através da integral dupla:

V = ∬ D F x ,   y d A

Para analisarmos a região de integração, precisamos achar a interseção do plano dado com os planos coordenados, fazendo x = 0 , y = 0 e z = 0 na equação z = 8 - 2 x - 4 y . Com isso encontraremos nossos intervalos de integração e poderemos calcular a integral dupla para obter o volume.

Vamos lá!

Passo 2

Quando z = 0 , temos:

8 - 2 x - 4 y = 0

Isolando y na equação:

y = 8 - 2 x 4

Assim, no plano z = 0 , temos a reta y = 8 - 2 x 4 :

Achando as interseções com x = 0 e y = 0 na reta, temos:

Pra x = 0 :

y = 8 - 2 ( 0 ) 4 = 2

Quando y = 0 :

8 - 2 x 4 = 0 → 8 - 2 x = 0

x = 4

Então, podemos escrever nossa região de integração na forma:

D = x ,   y   |   0 ≤ x ≤ 4 ,   0 ≤ y ≤ 8 - 2 x 4

Passo 3

Nossa função de integração �� z = 8 - 2 x - 4 y , integrando sobre a região D , temos o volume:

V = ∬ D F x ,   y d A = ∫ 0 4 ∫ 0 8 - 2 x 4 8 - 2 x - 4 y d y d x

Assim, integrando em relação a y , temos:

∫ 0 4 8 y - 2 x y - 4 y 2 2 0 8 - 2 x 4 d x = ∫ 0 4 8 y - 2 x y - 2 y 2 0 8 - 2 x 4 d x

Aplicando os intervalos de integração em y :

∫ 0 4 8 8 - 2 x 4 - 2 x 8 - 2 x 4 - 2 8 - 2 x 4 2 d x

∫ 0 4 x 2 - x 2 2 - 4 x + 8 d x

Integrando em relação a x :

x 3 3 - x 3 6 - 2 x 2 + 8 x 0 4

Aplicando os limites de integração em x , temos nosso volume:

V = 64 3 - 64 - 32 3 + 64

V = 32 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 32 3

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