8 – Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas por x 2 + y 2 = 1 , z = 0 e z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo belezinha por aí? Vamos resolver mais essa questão juntos? Vem comigo!

Bem, o problema pediu pra gente calcular volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas por x 2 + y 2 = 1 , z = 0 e z = x 2 + y 2 .

Bom, o primeiro passo será entender que região é essa, e para isso nós teremos que desenhá-la. Então bora fazer isso.

Passo 2

Vamos começar desenhando

x 2 + y 2 = 1

Perceba que essa é a equação de um cilindro e seu gráfico é o seguinte:

Agora vamos desenhar a curva z = 0 , que é o próprio plano x y .

E, por fim, vamos colocar a curva z = x 2 + y 2 que é o paraboloide.

Repara que ao fazermos o desenho das curvas, conseguimos perceber melhor o sólido que se forma com a limitação da região.

Então, analisando que a curva que limita o sólido superiormente é o paraboloide, lateralmente é o cilindro e inferiormente o plano x y . Assim, para calcular o volume desse sólido, basta resolver a integral dupla do paraboloide na região limitada dela intersecção entre o cilindro e a plano x y .

Passo 3

A integral se torna:

∬ D x 2 + y 2 d x d y

Em que D é a intersecção entre o cilindro e o plano x y , ou seja:

D = x 2 + y 2 = 1

Passo 4

Usando coordenada polares, teremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

J = r

E os limites de integração serão:

0 ≤ θ ≤ π

E para r

0 ≤ r ≤ 1

E nossa integral será:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ

Resolvendo, teremos

∫ 0 2 π r 4 4 | 0 1 d θ

∫ 0 2 π 1 4 d θ = θ 4 | 0 2 π = π 2

E finalmente, integral resolvida.

Depois dessa, toma uma aguinha e volta pra gente continuar. Ok?!

Resposta

V = π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.
Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .