Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 4a

  1. Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W limitado por:

a )   y = 0 ,         z = 0 ,         x + y = 4             e             z = 4 - x 2

Passo 1

Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido W . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?

Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui essas duas mais fáceis. Veja!

  1. y = 0 nos representa o próprio plano X Z :
  2. Assim como a anterior, z = 0 é o plano X Y :

Agora, essa superfície x + y = 4 , desenhamos um pouco diferente. Acompanhe-me!

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Passo 2

Para superfície que só dependem de duas incógnitas como x + y = 4 , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, x + y = 4 , note no plano X Y nos representa uma reta e que vou desenha-la aqui pra você ohhh:

Colocando esse mesmo plano no espaço...

Pois bem! Agora como essa equação não depende de z , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo z , saca? Então essa é a superfície:

No caso... É um plano !

Passo 3

Agora façamos o mesmo com essa outra superfície, z = 4 - x 2 ! Vamos lá! Agora pra ver se você entendeu como desenhar esse tipo de superfície, heim!

Primeiro devemos...?

desenhar a equação no plano (no caso no plano X Z ):

Depois devemos...?

“Puxar” essa reta em torno do outro eixo (no caso aqui é o y ):

E prontinho! Esse é a superfície que carinhosamente chamamos de cilindro parabólico.

Passo 4

Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas 4 coisas juntas. Assim, o nosso sólido é...

esse cara apontado por esta seta !

Passo 5

Para se calcular o volume desse pedacinho W , como você já sabe, devemos aplicar a fórmula do volume:

V W = D   f x , y d V

Onde se percebe que precisamos obter algumas informações cruciais para matar a questão:

  • Precisamos saber quem é essa função f ( x ,   y ) a ser integrada.
  • Além disso, precisamos saber quem é a região D de integração.

Para ambas as questões, basta que olhemos para o sólido W novamente e com mais cautela:

Repare que a função que devemos integrar, f x , y , é exatamente esse cilindro parabólico que é o teto do sólido, W , percebeu?

f x , y = z = 4 - x 2

Enquanto que a região de integração, nada mais é do que a sombra desse “teto” no plano X Y , o que formalmente chamamos de projeção no plano! Veja ;0

Ou melhor...

Essas retas vermelhas são facilmente obtidas fazendo a intercessão do cilindro vermelho,   z = 4 - x 2 , com o plano z = 0 :

4 - x 2 = 0                   x 1 = - 2 x 2 = 2

Descrevendo então essa região D aí... (nesse caso pode ser como do tipo 1 ):

- 2 x 2

enquanto isso...

R e t a   a z u l y R e t a   v e r d e

0 y 4 - x

Substituindo esses dados na integral dupla, ganhamos...

V W = D   f x , y d V = - 2 2 0 4 - x 4 - x 2 d y d x

Passo 6

Para resolver essa integral, calculemos primeiro a integral de dentro...

- 2 2 0 4 - x 4 - x 2 d y d x = - 2 2 0 4 - x 4 - x 2 d y d x

como 4 - x 2 é uma função que só depende de   x , ela pode cair fora da integral de dentro...

- 2 2 0 4 - x 4 - x 2 d y d x = - 2 2 4 - x 2 0 4 - x 1 d y d x =

- 2 2 4 - x 2   y 0 4 - x d x

substituindo os limites em y ...

- 2 2 ( 4 - x 2 ) 4 - x d x =

- 2 2 16 - 4 x - 4 x 2 + x 3 d x =

Integrando...

16 x - 4 x 2 2 - 4 x 3 3 + x 4 4 - 2 2 = 4 2 x - 2 x 2 - 4 x 3 3 + x 4 4 - 2 2 =

substituindo...

4 2 2 - 2 2 2 - 4 2 3 3 + 2 4 4 - 4 2 - 2 - 2 - 2 2 - 4 - 2 3 3 + - 2 4 4 =

simplificando tudo...

2 2 4 2 - 2 4 2 3 3 = 64 - 64 3 = 128 3

Resposta

128 3

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