Determine o volume do sólido dado.

a) Abaixo do plano x - 2 y + z = 1 e acima da região limitada por x + y = 1 e x 2 + y = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume abaixo do plano x - 2 y + z = 1 e acima da região entre as curvas x + y = 1 e x 2 + y = 1 . Pra isso, a gente precisa saber que o volume de um sólido qualquer limitado por uma superfície z = F ( x ,   y ) e por um plano x y é definido através da integral dupla:

V = ∬ D F x ,   y d A

Em que D é a região limitada no plano x y , no nosso caso, a região entre as curvas x + y = 1 e x 2 + y = 1 , e F ( x ,   y ) é dado por z = 1 - x + 2 y . Assim, vamos encontrar o intervalo onde x varia, igualando as equações das duas curvas. Com isso, definimos nossos intervalos de integração e calculamos a integral dupla do volume.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar esboçando nossa região:

As duas curvas se interseptam quando y c u r v a 1 = y c u r v a 2 , assim:

1 - x = 1 - x 2

x 2 - x = 0

x x - 1 = 0

Assim, temos x = 0 ou x = 1 . Então, nossos limites laterais são:

0 ≤ x ≤ 1

E nossos limites em y sãos as próprias curvas:

1 - x ≤ y ≤ 1 - x 2

Passo 3

Montando nossa integral, temos:

��� D F x ,   y d A = ∫ 0 1 ∫ 1 - x 1 - x 2 1 - x + 2 y d y d x

Observe que a função F ( x ,   y ) foi obtida ao isolarmos a variável z da equação do plano.

Assim, integrando em relação a y , temos:

∫ 0 1 y - x y + 2 y 2 2 1 - x 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 y - x y + y 2 1 - x 1 - x 2 d x

Aplicando os intervalos de integração em y :

∫ 0 1 1 - x 2 - x 1 - x 2 + 1 - x 2 2 - 1 - x - x 1 - x + 1 - x 2 d x

∫ 0 1 ( x 4 + x 3 - 5 x 2 + 3 x ) d x

Integrando em relação a x :

x 5 5 + x 4 4 - 5 x 3 3 + 3 x 2 2 0 1

Aplicando os limites de integração em x , temos nosso volume:

V = 1 5 + 1 4 - 5 3 + 3 2

V = 17 60

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 17 60

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