Determine o volume do sólido dado

  1. Abaixo do plano x + 2 y - z = 0 e acima da região limitada por y = x e y = x 4 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o volume do sólido abaixo do plano x + 2 y - z = 0 e acima da região limitada por y = x e y = x 4 .

Lembrando que o volume do sólido limitado por uma superfície z = F x , y e abaixo pelo plano x y é expressa através da seguinte integral dupla:

∬ F x , y d A D

Em que D é a região limitada no plano x y em que devemos integrar a função.

Eaí? Bora lá?

😉

Passo 2

Assim, esboçando a região, temos:

Calculando a intersecção das curvas:

x = x 4 ∴

x = 0 e x = 1

Assim, analisando o gráfico e os ponto de intersecção, obtemos nossa integral dupla:

∫ 0 1 ∫ x 4 x x + 2 y d y d x ∴

Integrando com relação a d y :

∫ x 4 x x + 2 y d y = ∫ x 4 x x d y + ∫ x 4 x 2 y d y ∴

= x y + y 2 x x 4 ∴

= - x 8 - x 5 + 2 x 2

Agora, integrando com relação a d x :

∫ 0 1 - x 8 - x 5 + 2 x 2 d x ∴

= ∫ 0 1 - x 8 d x - ∫ 0 1 x 5 d x + ∫ 0 1 2 x 2 d x ∴

= - x 9 9 - x 6 6 + x 3 6 1 0 ∴

= 7 18

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

7 18

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