(Cap 15.4 – Ex 27) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 e do elipsoide 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64

Passo 1

Falaiii galerinha, show de bolinhas?

Sabemos que ...

Para calcular o volume do sólido, vamos primeiramente construir uma integral dupla que o represente. Depois vamos calcular a integral.

A figura a seguir mostra o sólido dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 e do elipsoide 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64

Passo 2

Vamos começar achando os limites de integração!

Como o sólido está dentro cilindro x 2 + y 2 = 2 2 , ele que vai limitar a região de integração. Passando para coordenadas polares, teríamos

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Substituindo na equação, temos que a região de integração está limitada no seguinte intervalo,

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passando para o elipsoide, vamos aplicar as coordenadas polares e isolar z

4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64

4 r 2 + z 2 = 64

z 2 = 4 16 - r 2

z = ± 2 16 - r 2

Agora podemos montar a nossa integral, não esquecendo de multiplicar pelo nosso Jacobiano J = r . Então, o volume da metade superior do sólido é calculado pela integral:

V + = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 16 - r 2   r   d r   d θ

Pra calcular o volume do sólido inteiro, é só multiplicar a integral por 2 :

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 16 - r 2   r   d r   d θ

Passo 3

Podemos separar a integral no produto de duas integrais simples:

V = 4   ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 r 16 - r 2 d r

= 4   θ 0 2 π - 16 - r 2 3 2 3 0 2

= 4   .   2 π   . 1 3 - 16 - 4 3 2 + 16 - 0 3 2

= 8 π 3 - 12   .   4   . 3 + 16   .   4

= 8 π 3 64 - 24   3       u . c

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Resposta

8 π 3 64 - 24   3       u c

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