Determine o volume do sólido dado

b) Abaixo da superfície z = x y e acima do triângulo com vértices em 1,1 ,   4,1 e 1,2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o volume do sólido abaixo da superfície z = x y e acima do triângulo com vértices em 1,1 ,   4,1 e 1,2 .

Para isso, primeiramente devemos analisar a região D :

Vamos descobrir D através da inclinação m dessa reta!

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 ∴

m = 2 - 1 1 - 4 ∴

m = 1 3

Logo, a reta é dada por:

y - 2 = - 1 3 x - 1 ∴

y = - x 3 + 7 3

Dessa forma, podemos escrever a nossa região D assim:

D = x , y | 1 ≤ x ≤ 4,1 ≤ y ≤ 7 - x 3

Passo 2

Temos então que o volume do sólido que é restrito abaixo de z = x y na região D é dado por:

∬ z d A = ∫ 1 4 ∫ 1 7 - x 3 x y d y d x

Integrando com relação a d y :

∫ 1 7 - x 3 x y d y = x y 2 2 7 - x 3 1 ∴

= 40 x - 14 x 2 + x 3 18

Agora, integrando com relação a d x :

∫ 1 4 40 x - 14 x 2 + x 3 18 d x ∴

= ∫ 1 4 40 x 18 d x - ∫ 1 4 14 x 2 18 d x + ∫ 1 4 x 3 18 d x ∴

= 1 18 20 x 2 - 14 x 3 3 + x 4 4 4 1 ∴

= 31 8

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

31 8

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