O volume do sólido limitado pelo cilindro 2 x - 1 2 + 4 y 2 = 8 e pelo paraboloide z = x 2 + y 2 é dado pelo valor da integral dupla:

∫ ∫ D x 2 + y 2 d x d y

Para o cálculo dessa integral, uma mudança de coordenadas conveniente e o respectivo Jacobiano (J) são

x = 2 r cos ⁡ θ + 1 ,   y = 2 r sin ⁡ θ ,   J = 2 2 r

x = 2 r cos ⁡ θ + 1   ,   y = r sin ⁡ θ 2 ,   J = r

x = r cos ⁡ θ 2 + 1 ,   y = r sin ⁡ θ 2 ,   J = r 2 2

x = r cos ⁡ θ 2 + 1 ,   y = 2 r sin ⁡ θ ,   J = r

Passo 1

Olá meu caro amigo, tudo bem? Espero que sim, agora o que iremos fazer é encontrar uma parametrização adequada para o cilindro e depois iremos calcular o Jacobiano da mudança. Primeiro iremos arrumar a equação do cilindro

2 x - 1 2 + 4 y 2 = 8

Dividindo por 4

x - 1 2 4 + y 2 2 = 1

E sua parametrização, se temos um cilindro

x - x 0 2 a + y - y 0 2 b = 1

Por

x = a r cos ⁡ θ + x 0

y = a r sin ⁡ θ + y 0

Então, para a alternativa dada

x = 2 r cos ⁡ θ + 1

y = 2 r sin ⁡ θ

E o que sobra como alternativa é a letra a).

Passo 2

Mas vamos calcular o Jacobiano

J = 2 cos ⁡ θ - 2 r sin ⁡ θ 2 sin ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ

J = 2 2 r cos 2 ⁡ θ + 2 2 r sin 2 ⁡ θ

J = 2 2 r

Resposta

a)

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