9 - Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:

a) x 2 + y 2 = 1 , z = 0 e z = x 2 + y 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos que calcular o volume de um solido limitado pelas equações x 2 + y 2 = 1 , z = 0 e z = x 2 + y 2 .

E agora? Entendeu alguma coisa? 👀

Em outras palavras, vamos observar as equações que limitam nossa região e aplicar o método de integração para calcular o volume.

Podemos observar que z = 0 e z = x 2 + y 2 são os limites da altura do nosso sólido e x 2 + y 2 = 1 são os limites das laterais. Analisando as equações, vemos que estamos lidando com circunferências e hiperboloide então vamos usar coordenadas polares para resolver essa questão.

Bora ver como é nosso solido?

Passo 2

Se plotarmos as curvas, temos

Temos algo como se fosse uma tigela de base cilíndrica, consegue ver?

Quando temos uma questão de volume com integrais polares, temos a seguinte integral para resolver

∫ θ M i n θ M a x ∫ r M i n r M a x z M a x - z M i n r d r d θ

Onde z M a x é a maior curva em z e z M i n a menor. Já θ M a x , θ M i n , r M a x e r M i n são os valores de r e θ da integral polar que já sabemos obter.

A equação x 2 + y 2 = 1 limita nossa região de integração, dela podemos tirar que r varia de 0 a 1 e θ de 0 a 2 π .

Com isso, nossa integral é dada como

∫ 0 2 π ∫ 0 1 x 2 + y 2 - 0 r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 x 2 + y 2 r d r d θ

Convertendo nossa função de integração para x = r c o s θ e y = r s e n θ ou no caso x 2 + y 2 = r 2 . Lembrando que não podemos esquecer do jacobiano r que já está inserido (destacado em vermelho).

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ

Agora podemos iniciar nossos cálculos! bora lá! 😁

Passo 3

Primeiro integramos r 3 com relação a r pelo método de integração polinomial onde dividimos a variável pela sua potência + 1 e somamos 1 no seu expoente.

∫ r 3 d r = r 3 + 1 3 + 1 = r 4 4

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 r 3 d r = 1 4 4 - 0 4 4 = 1 4

Agora com base nesse resultado, integramos com relação a θ

∫ 1 4 d θ

Como nossa função de integração é uma constante, sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração

∫ 1 4 d θ = 1 4 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π 1 4 d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ = 1 4 2 π - 1 4 0

Com isso, o volume descrito por aquelas equações é de

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ = π 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ = π 2

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