(Cap 15.4 – Ex 19) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.

Abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 4 .

Passo 1

Falaiii galerinha, show de bolinhas?

Sabemos que ...

Por teoria, o volume do sólido vai ser o seguinte:

V = ∬ D z   d A  

Onde D é o domínio de integração.

Passo 2

Da equação do cone:

z = x 2 + y 2

Passando para coordenadas polares, temos:

x 2 + y 2 = r 2 , x = r c o s ( θ ) e y = r s e n ( θ )

Logo,

z = r 2 = r

Agora vamos ver como fica o domínio.

x 2 + y 2 ≤ 4

Assim,

r 2 cos ⁡ θ + r 2 s e n θ ≤ 4

Como r > 0 :

0 ≤ r ≤ 2

Então nossa integral fica:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r ⋅ r   d r   d θ

Passo 3

Da teoria, a gente sabe que pode fazer o seguinte:

V = ∫ 0 2 π d θ × ∫ 0 2 r 2 d r

Integrando:

V = θ 0 2 π × r 3 3 0 2

Logo,

V = 2 π - 0 × 2 3 3 - 0 3 3

Finalizando, temos:

V = 16 π 3

Resposta

Portanto, o volume do sólido é

V = 16 π 3

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