(Cap 15.4 – Ex 21) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Delimitado pelo hiperboloide - x 2 - y 2 + z 2 = 1 e pelo plano z = 2 .

Passo 1

Falaiii gurizadaa, baum por dimais da conta?

Simbora pra mais um?

Dada a expressão do hiperboloide - x 2 - y 2 + z 2 = 1 e pelo plano z = 2 .

Temos que avaliar o volume do sólido contido pelo hiperboloide dado e o plano usando coordenadas polares.

O Hiperboloide de duas folhas hiperboloide - x 2 - y 2 + z 2 = 1 intercepta o plano z = 2 .

Esboçando essa região, temos

Passo 2

Como a questão pede o volume do sólido delimitado pelo hiperboloide e pelo plano z = 2 . Vamos achar primeiro a interseção entre eles para assim obtermos o domínio de integração.

z = 2 ⇒ z 2 = 4 ⇒ - x 2 - y 2 + 4 = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 3

Assim, a região de integração será o disco de raio 3 centrado na origem. Além disso, vemos que o plano está acima do hiperboloide nesse domínio, de modo que

V = ∬ D 2 - 1 + x 2 + y 2   d A

Em coordenadas polares:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 - 1 + r 2   r   d r   d θ

Passo 3

Fazendo a integral em θ :

V = 2 π   ∫ 0 3 2 r - r 1 + r 2   d r

Assim,

V = 2 π   r 2 - 1 3 1 + r 2 3 0 3

= 2 π   3 - 1 3 ⋅ 8 + 1 3 = 4 π 3

Resposta

Portanto, o volume da região sólida necessário é

V = 4 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.
Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .