O volume do sólido delimitado pelos paraboloides y = 1 + x 2 + y 2 e y = 3 - x 2 - y 2 é igual a:

  1. 3 π 4  
  2. π 5
  3. π 4
  4. π
  5. 2 π

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

Nos pedem para calcular o volume comum à duas figuras, ou seja, imagine que uma está passando pela outra, é esse volume de uma passa pela outra.

Temos as nossas funções das figuras, vamos ver como ela são?

O que queremos saber é o volume com apenas, ou seja, quando as funções SÃO IGUAIS, ou seja, só esta parte:

Considerando que elas têm que ser iguais, vamos lá igualá-las?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim, temos:

y = 3 - x 2 - z 2

y = 1 + x 2 + z 2

Igualando ambas:

3 - x 2 - z 2 = 1 + x 2 + z 2

Deixando tudo do mesmo lado:

2 x 2 + 2 z 2 - 2 = 0

Passando tudo pro outro lado e dividindo por 2, temos:

x 2 + z 2 = 1

E chegamos nessa equação cônica. Como que ela fica no nosso gráfico?

Veja que ele passa exatamente pela parte que queremos calcular.

Passo 3

Então aqui é o xeque-mate! Pois nós queremos calcular a parte comum à dois paraboloides, o que nos resulta na equação:

x 2 + z 2 = 1

Apesar de ser um cilindro, a área comum às duas funções é um disco de raio 1, isso pode nos ajudar a tirar uma boa sacada. Qual? Vejamos juntos.

Passo 4

Agora tendo a função, nós podemos realizar o passo esperto, que é notar que se temos um disco de raio um, então a área dele será:

π r 2 = π 1 2 = π

Ou podemos realizar toda a integração toda. Para isso, vamos pegar os limites de integração? Temos a equação então:

x 2 + z 2 = 1

Aqui podemos tomar qualquer ordem de variáveis, pois temos somente uma equação. Fazendo o limite em x, temos:

x = ±   1 - z 2

E uma vez já definido o limite de x , podemos tomas os limites de integração para z (uma vez tomado o limite de integração para x agora ele é 0 )

z = ± 1

Resumindo:

x ∈ - 1 - z 2 ,   + 1 - z 2

z ∈ - 1,1

Assim a nossa integral fica:

∫ - 1 + 1 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 d x   d z

Integrando em x :

∫ - 1 1 x - 1 - z 2 1 - z 2   d z = ∫ - 1 1 2 1 - z 2     d z

Esse tipo de integração precisa de uma substituição. Geralmente são do tipo:

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Bom, observando que temos 1 - z 2 , qual que ficaria melhor?

Bom, vendo assim nos prece que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , certo?! Porque podemos fazer cos ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ e agora nosso trabalho vai ser somente a analisar x = sin ⁡ θ . Assim:

x = sin ⁡ θ

De forma que a derivada:

d x d θ = cos ⁡ θ

MAS, CALMA, JOVEM MANCEBO! Atente-se, quando nós fazemos alguma substituição, qualquer que seja, nós temos que ver como que os limites de integração estão nessa substituição, assim:

q u a n d o   x = - 1 → sin ⁡ θ = - 1 → θ = - π 2

q u a n d o   x = 1 → sin ⁡ θ = 1 → θ = π 2

Logo a nossa integral fica:

∫ - π 2 π 2 2 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ

Mas sabemos que 1 - sin 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ

∫ - π 2 π 2 2 cos 2 ⁡ θ d θ = 2 1 2 θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ - π 2 π 2 = π 2 + 0 - - π 2 - 0 = π

E encontramos o mesmo resultado que tínhamos provado antes.

Esse resultado é de qual alternativa? Letra d)

π

E acabamos por aqui, carinha. Obrigado por te ficado até aqui junto comigo. Até a próxima 😊

Resposta

Letra d)

π

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