Use a transformação x = u 2 ,   y = v 2 ,   z = w 2 para calcular o volume da região limitada pela superfície x + y + z = 1 e pelos planos coordenados.

Passo 1

Beleza meu amigo? Aqui precisamos calcular um volume de uma região e para isso usaremos uma integral tripla, já temos uma transformação dada pelo enunciado então o que nos resta é encontrar os limites de integração, montar e integral e calcular.

Precisamos calcular o Jacobiano dessa mudança de variáveis.

2 u 0 0 0 2 v 0 0 0 2 w

u + v + w ≤ 1

0 ≤ w ≤ 1 - v - u

w = 0 → u + v ≤ 1

0 ≤ v ≤ 1 - u

w = 0 ,   v = 0   u ≤ 1

0 ≤ u ≤ 1

Passo 2

Agora montando minha integral e calculando

V =   ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u ∫ 0 1 - v - u 8 u v w d w d v d u

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 8 u v 1 - v - u 2 d v d u

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 4 u v 1 - 2 u + v + u + v 2 d v d u

= 4 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u u v 1 - 2 u - 2 v + u 2 + 2 a v + v 2 d v d u

= 4 ∫ 0 1 u v 1 - 2 u + u 2 - 2 1 - u v + v 2 d v d u

= 4 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u u 1 - u 2 v - 2 u 1 - u v 2 + u v 3 d v d u

= 4 ∫ 0 1 [ u 1 - u 2 ∙ 1 - u 2 2 - 2 u 1 - u ∙ 1 - u 2 3 + u 1 - u 4 4 ] d u

= 4 ∫ 0 1 1 2 - 1 3 + 1 4 u 1 - u 4 d u

= 4 12 ∫ 0 1 u 1 - 4 u + 6 u 2 - 4 u 3 + u 4 d u

= 1 3 ∫ 0 1 u - 4 u 2 + 6 u 3 - 4 u 4 + u 5 d u

= 1 3 1 2 - 4 3 + 6 4 - 4 5 + 1 6

= 1 3 2 - 4 8 15 + 1 6

= 1 3 2 - 32 15 + 1 6

= 1 3 60 - 64 + 5 30

= 1 90

Resposta

= 1 90

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