(Cap 15.4 – Ex 22) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e fora do cilindro x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Devemos calcular o volume do sólido usando uma integral dupla em coordenadas polares. Como queremos a região fora do cilindro x 2 + y 2 = 4 , devemos ter r ≥ 2 (em polares). Além disso, no plano x y a interseção da esfera forma o círculo x 2 + y 2 = 16 .

Assim, como vamos integrar dentro dela, devemos ter r ≤ 4 .

Portanto, o domínio de integração será

D = r , θ     2 ≤ r ≤ 4 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π }  

O cilindro apenas delimita a região de integração, devemos isolar z na expressão da esfera para definir que função vamos integrar para achar o volume:

z = ± 16 - x 2 - y 2

Assim,

z + - z - = 16 - x 2 - y 2 - - 16 - x 2 - y 2 = 2 16 - x 2 - y 2

Portanto,

V = ∬ D 2 16 - x 2 - y 2   d A = 2   ∫ 0 2 π ∫ 2 4 16 - r 2   r   d r   d θ

Passo 2

Projetando o sólido no plano xy, é um anel e mostrado na figura abaixo

A região sólida é como mostra abaixo

Passo 3

Fazendo a integral em θ :

V = 4 π   ∫ 2 4 16 - r 2   r   d r

Fazendo a mudança u = 16 - r 2 , temos que d u = - 2 r   d r . Assim,

V = - 2 π ∫ 12 0 u   d u = 2 π   2 3 u 3 0 12

= 4 π 3 ⋅ 2 3 3 = 4 π 3 ⋅ 8 ⋅ 3 3

= 32 π 3

Resposta

Portanto, o volume necessário do sólido é

V = 32 π 3

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