Determine o volume do sólido dado.

c) Abaixo da superfície z = x y e acima do triângulo de vértices ( 1 ,   1 ) , 4 ,   1 e ( 1 ,   2 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume gerado pela região abaixo da superfície z = x y e acima do triângulo de vértices ( 1 ,   1 ) , 4 ,   1 e ( 1 ,   2 ) . Nós sabemos que o volume é definido através da integral dupla:

V = ∬ D F x ,   y d A

Nesse caso, a nossa região é dada pelo triângulo:

Mas para definir a região D precisamos saber quem é essa reta que passa entre os pontos ( 1,2 ) e ( 4,1 ) . Nós podemos fazer isso calculando a inclinação da reta por meio de m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 e substituindo na equação geral da reta:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Assim, definimos os intervalos de integração em x e em y e calculamos nossa integral dupla para obter o volume.

Vamos lá!

Passo 2

Usando os pontos ( 1,2 ) e ( 4,1 ) , vamos calcular a inclinação da reta:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 = 2 - 1 1 - 4 = - 1 3

Substituindo na equação geral da reta, temos:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 2 = - 1 3 ( x - 1 )

y = - x 3 + 7 3

Então podemos escrever nossa região D da seguinte forma:

D = x , y   1 ≤ x ≤ 4 ,     1 ≤ y ≤ 7 - x 3

Passo 3

Então, o volume do solido que é restrito abaixo de z = x y na região D é dado por:

V = ∬ D z   d A = ∫ 1 4 ∫ 1 7 - x 3 x y   d y d x

Agora vamos integrar, primeiro em y :

∫ 1 4 x y 2 2 y = 1 y = 7 - x 3 d x

Aplicando os limites de integração:

∫ 1 4 x ( 7 - x ) 2 2 ⋅ 3 2 - x 2   d x

∫ 1 4 49 x - 14 x 2 + x 3 18 - 9 x 18   d x = ∫ 1 4 40 x - 14 x 2 + x 3 18   d x

Agora integramos em relação a x :

1 18 20 x 2 - 14 x 3 3 + x 4 4 1 4

Aplicamos os limites de integração:

= 1 18 20 ⋅ 4 2 - 14 ⋅ 4 3 3 + 4 4 4 - 20 - 14 3 + 1 4

E temos nosso volume:

V = 1 18 320 - 896 3 + 64 - 20 + 14 3 - 1 4

V = 31 8

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 31 8

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