Calcule as derivadas:

b) g ( z ) = z ² - 1 s e c   z

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular a derivada da função g(z) dada. Primeiro, vamos notar que, qualquer potência a b pode ser escrita como a exponencial de um logarítmo na forma

a b = e l n z ² - 1 s e c   z = e s e c   z   l n z ² - 1

Então, podemos reescrever a função g(z) como

g ( z ) = e s e c   z   l n z ² - 1

Então, agora fica mais simples derivar a função utilizando a regra da cadeia. Então, vamos lá!

Passo 2

Se definirmos uma função h ( z ) = s e c   z   l n z ² - 1 , podemos escrever a função g(z) como g ( h ( z ) ) = e h ( z ) e, assim, podemos escrever a derivada de g utilizando a regra da cadeia, sabendo que a derivada da função exponencial é ela mesma:

d g d z = d d h e h ( z ) × d d z h ( z ) = e h ( z ) × d d z h ( z )

Como a derivada de h(z), pela regra do produto, é

d h d z = l n z ² - 1 × d d z ( s e c   z ) + s e c ( z ) d d z ( l n z ² - 1 ) = l n z ² - 1 t g ( z ) s e c ( z ) + s e c ( z ) z ² - 1 × 2 z

Então, h ' ( z ) = s e c ( z ) l n z ² - 1 t g ( z ) + 2 z z ² - 1 . Portanto, a derivada da função g(z) é:

d g d z = e h ( z ) s e c ( z ) l n z ² - 1 t g ( z ) + 2 z z ² - 1 = e s e c   z   l n z ² - 1 s e c ( z ) l n z ² - 1 t g ( z ) + 2 z z ² - 1

Ou, equivalentemente,

d g d z = z ² - 1 s e c   z s e c ( z ) l n z ² - 1 t g ( z ) + 2 z z ² - 1

Resposta

d g d z = z ² - 1 s e c   z s e c ( z ) l n z ² - 1 t g ( z ) + 2 z z ² - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.
Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .