Considere a seguinte função:

G x = sinh ⁡ 2 x ,   x ≤ 0 2 tan ⁡ x ,   x ∈ 0 , π 2

Obtenha G ' x e o seu domínio.

Passo 1

Olá, tudo bem? Pronto para calcular essa querida derivada? Aqui temos uma função que é composta por duas leis de formação, para valores menores ou igual a 0 e para valores maiores que 0 até o ângulo de 90º.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada de sinh ⁡ 2 x , que é

2 cosh ⁡ 2 x ,   x ≤ 0

Até aqui sobrevivemos, agora vamos calcular para 2 tan ⁡ x

2 sec 2 ⁡ x

Até aqui tudo bem, então nossa derivada é

G ' x = 2 cosh ⁡ 2 x , x ≤ 0 2 sec 2 ⁡ x   , x ∈ 0 , π 2

Passo 3

Agora iremos analisar o domínio, o cosh ⁡ 2 x é igual a

e 2 x + e - 2 x 2

E seu domínio é real, já sec ⁡ x é a mesma coisa que

1 cos ⁡ x

E o seu domínio não é real, pois não podemos permitir que cos ⁡ x seja zero, com isso, temos que o intervalo do domínio seja para esta função seja

] 0 , π 2 [

E assim terminamos nossa resolução.

Resposta

G ' x = 2 cosh ⁡ 2 x , x ≤ 0 2 sec 2 ⁡ x   , x ∈ 0 , π 2

D = G ' x ∈ R   |   x ≤ 0   o u   0 < x < π 2

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