Calcule o volume do sólido definido por V , onde V = x , y , z   :   x 2 + y 2 < ln ⁡ 1 z ;     0 < z < 1

Passo 1

Faala, pessoal! Vamos compreender melhor a figura que define o limite do volume. A cada altura z , temos um raio máximo r z = x 2 + y 2 = ln ⁡ 1 z ao qual podemos obter.

Assim, se integrarmos discos paralelos ao plano x y de raio r ( z ) e espessura d z , teremos:

V = ∫ 0 1 π r 2 d z

= ∫ 0 1 π ln ⁡ 1 z d z

= - π ∫ 0 1 ln ⁡ z d z

Aplicando o método da integração por partes, temos:

u = ln ⁡ z d v = d z ⇒ d u = d z z v = z

Logo,

V = - π ∫ 0 1 ln ⁡ z d z = - π ∫ u d v = - π ( u v - ∫ v d u )

= - π z ln ⁡ z 0 1 - ∫ 0 1 z d z z

= - π z ln ⁡ z - z 0 1

= - π - 1 - lim z → 0 + ⁡ z ln ⁡ z

Substituindo t = 1 / z , temos:

V = - π - 1 - lim t → + ∞ ⁡ 1 t ln ⁡ 1 t

= - π - 1 - lim t → + ∞ ⁡ - 1 t ln ⁡ t ⏟ = 0

= π

Onde o limite evidenciado vale 0 , devido ao fato de funções polinomiais crescerem mais rápido que logarítmicas.

Resposta

V = π

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