Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UERJ - Cálculo 2 - Selecionados Lista 21 - 4a

Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:

z = 4 - x

x = 0

x = 2

y = 0

y = 1 4 x + 1 2

Passo 1

Bom, antes de mais nada, vamos desenhar essa região do problema, para visualizar melhor as coisas.

Nós temos o plano x = 0 , o plano x = 2 e o y = 0 , que são traquilos de desenhar. Agora vamos pensar no y = x 4 + 1 2 .

Você pode fazer a reta y = x 4 + 1 2 no plano x y , tendo em mente que ela corta o eixo y em y = 1 2 (é o ponto onde x = 0 ) e que y cresce quando x cresce, não precisa ser nada perfeito não! É um esboço. Agora, a equação do plano não possui a coordenada z , basta “repetirmos” essa reta ao longo do eixo z .

Agora vamos ao último plano z = 4 - x . Repara que ele não tem a coordenada y , então, basta desenharmos a reta z = 4 - x no plano x z e repetí-la ao longo do eixo y .

Temos então a seguinte região:

Aqui vai um outro ponto de vista, se você ficou confuso:

Beleza? Como o problema não menciona nenhum plano fechando a região por baixo, vamos assumir que z 0 , ou seja, que o volume é limitado pelo plano z = 0 . Agora, chamando de W essa região que acabamos de analisar, o problema pede então volume W .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Certo, agora precisamos escrever matematicamente essa região, ok? Podemos ver que, na coordenada z ela é limitada por duas funções ( z = 4 - x e z = 0 ) e no plano x y , por uma área, que chamaremos de D .

Sendo assim, esse volume pode ser escrito da seguinte forma:

W = { ( x , y , z ) | x , y D ;   0 z 4 - x }

volume W = D   4 - x - ( 0 ) d A

volume W = D   4 - x d A

Passo 3

Agora precisamos escrever matematicamente essa área D , como em qualquer integral dupla que já fizemos. Imagine o sólido visto de cima, temos isso aqui:

Essa é a área que limita W no plano x y . Vamos descrevê-la como uma região do tipo I, na coordenada y ela é limitada por funções (a reta vermelha y = 0 e a roxa y = x 4 + 1 2 ) e na coordenada x é limitada por números ( x = 0 e x = 2 ).

Podemos então escrever o seguinte:

D = x , y | 0 x 2 ; 0 y x 4 + 1 2

Passo 4

Agora vamos substituir na integral esses intervalos que encontramos:

volume W = 0 2 0 x 4 + 1 2 4 - x d y d x

Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que acompanhar os intervalos da integrais.

Passo 5

Agora em relação a y :

= 0 2 4 y - x y 0 x 4 + 1 2 d x =

= 0 2 x + 2 - x 2 4 - x 2 d x =

= 0 2 x 2 + 2 - x 2 4 d x =

Passo 6

Finalmente, integramos em relação a x :

= x 2 4 + 2 x - x 3 12 0 2 =

= 1 + 4 - 2 3 =

= 13 3

Resposta

volume W = 13 3

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