3 . Encontre o volume do sólido no primeiro octante que se encontra acima do triângulo com vértices nos pontos ( 0 ,   0 ) , ( 1 ,   0 ) , ( 1 ,   3 ) e abaixo do plano z   =   2 x + 3 y + 1

Passo 1

Se desenharmos esse sólido é possível ver que nós podemos tratá-lo como uma região de tipo 1 ao projetarmos no plano x y pois teremos um triângulo retângulo.

Vamos observar que a reta que passa pelo ponto 0,0 e 1,3 é a reta y = 3 x então, a partir disso, podemos encontrar o volume do sólido resolvendo uma integral dupla onde:

0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 3 x

Passo 2

V = ∫ 0 1   ∫ 0 3 x 2 x + 3 y + 1   d y d x = ∫ 0 1 2 x y + 3 2 y 2 + y 0 3 x d x                        

= ∫ 0 1 6 x 2 + 27 2 x 2 + 3 x   d x = ∫ 0 1 39 2 x 2 + 3 x   d x = 13 2 x 3 + 3 2 x 2 0 1

= 13 2 + 3 2 = 16 2 = 8                                                                                                                                                                            

Resposta

V = 8   u . v

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