Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 10

Calcule o volume do sólido que não contém a origem e é limitado pelas superfícies:

z = 4 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 1

z = 0

Passo 1

Aqui vamos usar aquela fórmula para cálculo de volumes:

D f ( x , y ) d A

Mas vamos entender nosso sólido antes pra saber como descrever o domínio e o que usaremos como f x , y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos um paraboloide, z = 4 - x 2 - y 2 , limitado por um cilindro  x 2 + y 2 = 1  e o plano z = 0 .

Como ele quer a parte que não contem a origem, vamos ter esse pedaço aqui:

E a nossa função f x , y vai ser dada pelo próprio paraboloide  f x , y = 4 - x 2 - y 2 e o domínio vai ser a projeção disso, vamos ver como que vai ficar!

Passo 3

A projeção do paraboloide é dada quando z = 0 e aí temos:

4 - x 2 - y 2 = 0 x 2 + y 2 = 4

Mas temos aquele “furo” por causa do cilindro, que tem projeção de  x 2 + y 2 = 1 , então ficamos com algo assim:

Que é muito bom de escrevermos em coordenadas polares, assim como nossa função f x , y = 4 - x 2 - y 2

Passo 4

Vamos lembrar como que é a mudança para coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r sin θ

J = r

Então aquela integral que a gente tem lá em cima fica:

D 4 - x 2 - y 2 d A = D ¯ 1 - r 2 r d r d θ

Como vimos no passo anterior, o domínio é bem fácil de escrever em coordenadas polares. Temos, simplesmente 0 θ 2 π e 1 r 2 . Então:

D ¯ 1 - r 2 r d r d θ = 0 2 π 1 2 4 r - r 3 d r d θ

Passo 5

Agora é só calcular a integral:

0 2 π 1 2 4 r - r 3 d r d θ = 0 2 π 4 r 2 2 - r 4 4 1 2 d θ =

= 0 2 π 8 - 4 - 2 + 1 4 d θ = 9 4 θ 0 2 π = 9 π 2

Pronto, tá feito!

Resposta

9 π 2

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