Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 929

Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z = x 2 + y 2 , acima do plano x y e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 x .

Passo 1

Calcular o volume entre a função f x ,   y = x 2 + y 2 e o plano x y dentro de uma região D é o mesmo que:

D   x 2 + y 2   d x d y

Mas que região D é essa? Repare que o enunciado limitou a região de integração com um cilindro, que nada mais é que a “repetição” de uma circunferência para qualquer z . Portanto, o domínio que buscamos no plano x y , é limitado por uma circunferência de equação:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

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Passo 2

Como tanto a função que vamos integrar como a região de integração possuem termos x 2 e y 2 , vamos utilizar coordenadas polares. Faremos, então:

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

Passo 3

Agora que já definimos a substituição que faremos, vamos analisar os novos intervalos de integração.

O termo 2 x da equação da circunferência indica que ela não está centrada na origem. Vamos, então, completar o quadrado para descobrirmos seu centro:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

x - 1 2 + y 2 = 1

Portanto, temos uma circunferência de raio 1 centrada em ( 1,0 ) , vamos representá-la graficamente:

O ângulo θ varia entre π / 2 e π / 2 . Se não ficou claro a partir da imagem, pensa no seguinte: o ângulo deve cobrir toda a parte à direita o eixo y , e cresce no sentido anti-horário, certo? Então, a partir da origem, o ângulo θ deve começar cobrindo a parte de baixo da curva, e seu valor inicial é θ = - π / 2 . No ponto x = 2 , vamos ter θ = 0 . Quando a curva começa a ser fechada na origem, θ vai se aproximando do valor π / 2 .

r , varia entre 0 e a curva em vermelho, então, vamos substituir os valores que definimos para x e y na expressão do círculo:

r cos θ 2 - 2 r cos θ + r sen θ 2 0

r 2 sen 2 θ + cos 2 θ - 2 r cos θ 0

r 2 - 2 r cos θ 0

r r - 2 cos θ 0

Como r 0 sempre, teremos:

r - 2 cos θ 0   r 2 cos θ  

D = { ( r , θ ) | 0 r 2 cos θ ;   - π / 2 θ π / 2 }

Passo 4

Vamos, então, montar a integral em coordenadas polares:

- π / 2 π / 2   0 2 cos θ [ r cos θ 2 + r sen θ 2 ] r   d r d θ =

= - π / 2 π / 2   0 2 cos θ [ cos θ 2 + sen θ 2 ]   r 2   r   d r d θ =

= - π / 2 π / 2   0 2 cos θ r 3   d r d θ =

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a r :

= - π / 2 π / 2   r 4 4 r = 0 r = 2 cos θ d θ =

= - π 2 π 2   16 cos 4 θ 4   d θ = - π 2 π 2   4 cos 4 θ   d θ =

Passo 6

Para integrar em relação a θ , vamos utilizar a fórmula do arco duplo: cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2

= 4 - π 2 π 2   1 + cos 2 θ 2 2   d θ =

= - π 2 π 2 1 + 2 cos 2 θ + cos 2 2 θ   d θ =

Aplicando essa fórmula novamente:

= - π 2 π 2   1 + 2 cos 2 θ + 1 + cos 4 θ 2 d θ =

= 3 θ 2 + 2 sen 2 θ 2 + sen 4 θ 8 - π 2 π 2 =

= 3 π / 2 2 + 0 + 0 - 3 - π / 2 2 + 0 + 0 =

Resposta

3 2 π

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