(Cap 15.2 – Ex 30) Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16 - x 2 e pelo plano y = 5 .

Passo 1

Falaiii pessoal, show de bola?

Bora lá!

Pra acharmos os limites de integração, iremos observar que o sólido está no primeiro octante, ou seja, está numa região do espaço onde x ≥ 0   ,   y ≥ 0 e z ≥ 0 .

Então, já podemos afirmar que 0 ≤ y ≤ 5 .

Pra descobrir quais os limites de integração em x , vamos fazer z = 0 na equação do cilindro:

z = 16 - x 2

0 = 16 - x 2

x = ± 4

Mas como x ≥ 0 , podemos dizer que o sólido está em 0 ≤ x ≤ 4 , beleza? A integral dupla vai ficar assim então:

V = ∫ 0 5 ∫ 0 4 16 - x 2 d x   d y

Passo 2

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 0 5 ∫ 0 4 16 - x 2 d x   d y

= ∫ 0 5 ∫ 0 4 16 - x 2   d x d y

= ∫ 0 5 16 x - x 3 3 0 4 d y

= ∫ 0 5 16   .   4 - 4 3 3 d y

= ∫ 0 5 4 3 3 3 - 1 d y

= ∫ 0 5 128 3   d y

Passo 3

Agora, é só resolver a integral

= ∫ 0 5 128 3   d y

= 128 y 3 0 5

= 128   .   5 3 = 640 3

Beleza?

Resposta

Portanto, o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16 - x 2 e o plano y = 5 é de 640 / 3 .

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