4) Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral

∫ ∫ 0,1 × 0,1 2 - x 2 - y 2 d A .

Justifique o seu raciocínio.

Passo 1

Falaaaa... Belezinha???

Nessa questão vamos esboçar o volume da integral dada.

Mas você pode estar se perguntando: Ueee.. mas integral dupla não é área??

Então... Vamos fazer um paralelo com integral simples. Lembra quando a gente queria calcular a área entre duas curvas, f x e g x , que a gente calculava a integral:

∫ ( f x - g x ) d x

A gente pode pensar de forma semelhante pra integral duplas. Pra calcular o volume entre duas curvas, f x , y e g x , y , usamos:

∫ ∫ f x , y - g x , y d x y

Passo 2

Como vamos esboçar o volume, então vamos ter um gráfico em três dimensões, certo?

Maaaas pra ficar mais fácil de ver como vai ficar, vamos usar a estratégia de fazer primeiro os gráficos em duas dimensões.

Para x y temos a região delimitada, que aparece colado no sinal da integral. Essa região é a projeção da curva no plano x y . Como se fosse a sombra da curva com x e y variando entre 0 e 1.

Passo 3

Para o plano x z , nós tem y = 0 . Então x varia de 0 a 1 e z varia de 0 a 2 - x 2 - y 2 .   Como y = 0 , então temos z variando de 0 a 2 - x 2 .

Repara que z = 2 - x 2 é uma parábola com a concavidade pra baixo. Então teremos:

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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