Use uma integral dupla para calcular a área das seguintes regiões. Faça um esboço da região.

c) A região no primeiro quadrante limitado por y = x 2 , y = 5 x + 6 e y = 6 - x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da região entre as curvas y = x 2 , y = 5 x + 6 e y = 6 - x . Vamos começar fazendo o esboço da região, pra gente entender como é essa área.

Como ele quer apenas no primeiro quadrante, a região limitada pelas três curvas vai ser essa em amarelo. Pra gente conseguir integrar essa região, vamos ter que dividir ela em duas. Uma parte onde x vai de 0 até 2 (onde a parábola e a reta em verde se encontram) e y vai de 6 - x (reta em verde) até 5 x + 6 (reta em azul). E outra parte onde x vai de 2 a 6 (onde a parábola encontra a reta em azul) e y vai de x 2 (parábola em laranja) até 5 x + 6 (reta em azul). Ou seja, vamos ter:

R 1 = x ,   y ∈ R     0 ≤ x ≤ 2 ,   6 - x ≤ y ≤ 5 x + 6 }

R 2 = x ,   y ∈ R     2 ≤ x ≤ 6 ,   x 2 ≤ y ≤ 5 x + 6 }

A fórmula do cálculo de área usando integral dupla é dada por:

A = ∬ R d A

Onde R é cada uma das nossas regiões de integração. Então, vamos substituir os limites na integral dupla e calcular. Vamos lá!

Passo 2

No passo 1 , nós dividimos nossa região em duas e vimos que nossos intervalos na primeira integração serão:

0 ≤ x ≤ 2

6 - x ≤ y ≤ 5 x + 6

Assim, temos a integral de área:

A 1 = ∫ 0 2 ∫ 6 - x 5 x + 6 d y d x

E na segunda região, temos:

2 ≤ x ≤ 6

x 2 ≤ y ≤ 5 x + 6

E sua integral de área:

A 2 = ∫ 2 6 ∫ x 2 5 x + 6 d y d x

Juntando as duas, temos a área total:

A = ∫ 0 2 ∫ 6 - x 5 x + 6 d y d x + ∫ 2 6 ∫ x 2 5 x + 6 d y d x

Passo 3

Integrando em ambas em relação a y , temos:

A = ∫ 0 2 y 6 - x 5 x + 6 d x + ∫ 2 6 y x 2 5 x + 6 d x

Aplicando os intervalos de integração em y :

A = ∫ 0 2 5 x + 6 - 6 + x d x + ∫ 2 6 5 x + 6 - x 2 d x

A = ∫ 0 2 6 x d x + ∫ 2 6 5 x + 6 - x 2 d x

Integrando agora em relação a x :

A = 6 x 2 2 0 2 + 5 x 2 2 + 6 x - x 3 3 2 6

A = 3 x 2 0 2 + 5 x 2 2 + 6 x - x 3 3 2 6

Aplicando os intervalos de integração:

A = 3 2 2 - 3 0 2 + 5 2 6 2 + 6 6 - 6 3 3 - 5 2 2 2 - 6 2 + 2 3 3

A = 12 + 90 + 36 - 72 - 10 - 12 + 8 3

E temos a nossa área:

A = 140 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 140 3

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.
Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .