Determine o volume do sólido dado.

d) Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante. Nós sabemos que o volume é definido através da integral dupla:

V = ∬ D F x ,   y d A

Onde a função F x ,   y = z = y . E a região D está no plano x y (ou z = 0 ). Assim, devemos integrar a função z x , y = y no domínio de integração limitado pela circunferência x 2 + y 2 = 1 no plano x y :

Assim, vamos calcular o volume através da integral dupla:

V = ∬ z   d x   d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 y   d y   d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a y :

V = ∫ 0 1 y 2 2 0 1 - x 2 d x

Aplicando os limites de integração:

= 1 2 ∫ 0 1 1 - x 2   d x

Agora integrando em relação a x , temos:

V = 1 2 x - x 3 3 0 1

E aplicando os limites de integração em x :

V = 1 2 1 - 1 3

Temos nosso volume:

V = 1 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 1 3

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