9 - Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:

b) z = 0 , x 2 + y 2 = 1 6 e z = 10 + x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos que calcular o volume de um solido formado pelas equações z = 0 , x 2 + y 2 = 16 e z = 10 + x .

Podemos calcular o volume de um sólido através de uma integral dupla onde nossa função de integração é dada pela variação da altura, ou seja, a variação de z .

Se desenhássemos essas equações para visualizar nosso sólido, obtemos

Podemos perceber que os limites da base do nosso solido é circular, então temos que usar coordenadas polares para resolver esse probleminha.

Com isso, para esse caso, a integral é obtida como

∫ θ M i n θ M a x ∫ r M i n r M a x z M a x - z M i n r d r d θ

Bora começar nossos cálculos? 😁

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função de integração. Vemos que dois dos nossos limites são z = 0 e z = 10 + x , essa variação de z é justamente a nossa função. Ou seja

∫ θ M i n θ M a x ∫ r M i n r M a x 10 + x - 0 r d r d θ

∫ θ M i n θ M a x ∫ r M i n r M a x 10 + x r d r d θ

Convertendo nossa função para polar, substituímos x por r c o s θ e y por r s e n θ , lembra disso? Então

∫ θ M i n θ M a x ∫ r M i n r M a x 10 + r c o s θ r d r d θ

∫ θ M i n θ M a x ∫ r M i n r M a x 10 r + r 2 c o s θ d r d θ

O que nos resta é obter os valores para θ e r .

E aí? Como fazemos?

Esses valores são nossos valores da base, concorda? O volume de um solido é área da base multiplicado pela altura. A altura já calculamos quando fizemos z M a x - z M i n e obtemos a nossa função de integração.

Com isso, se observarmos nosso solido, vemos que sua base é descrita pela equação x 2 + y 2 = 16 . Ou seja, uma circunferência de raio 4 .

Por se tratar de uma circunferência completa, os limites de θ vai de 0 a 2 π e por englobarmos toda a sua parte interna, nosso raio varia de 0 a 4 .

Ou seja

θ M a x = 2 π θ M i n = 0 r M a x = 4 r M i n = 0

Entendeu? 👀

Passo 3

Dessa forma, nossa integral vai ter a seguinte cara

∫ 0 2 π ∫ 0 4 10 r + r 2 c o s θ d r d θ

Primeiro integramos com relação a r pelo método de integração de polinômios onde dividimos a variável pela sua potência + 1 e somamos 1 no seu expoente.

∫ 10 r + r 2 c o s θ d r = 10 r 1 + 1 1 + 1 + r 2 + 1 2 + 1 cos ⁡ θ

∫ 10 r + r 2 c o s θ d r = 5 r 2 + r 3 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 4 10 r + r 2 c o s θ d r = 5 4 2 + 4 3 3 cos ⁡ θ - 5 0 2 + 0 3 3 cos ⁡ θ

∫ 0 4 10 r + r 2 c o s θ d r = 80 + 64 3 cos ⁡ θ

Agora com base nesse resultado, integramos com relação a θ

∫ 80 + 64 3 cos ⁡ θ d θ

Temos uma constante, onde sabemos que a integral de uma constante é a própria integral multiplicado pela constante de integração. Também temos um c o s que pelo teorema fundamental do cálculo, a integral do c o s é igual ao s e n .

∫ 80 + 64 3 cos ⁡ θ d θ = 80 θ + 64 3 s e n θ

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 2 π ∫ 0 4 10 r + r 2 c o s θ d r d θ = ∫ 0 2 π 80 + 64 3 cos ⁡ θ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 4 10 r + r 2 c o s θ d r d θ = 80 2 π + 64 3 s e n 2 π - 80 0 + 64 3 s e n 0

∫ 0 2 π ∫ 0 4 10 r + r 2 c o s θ d r d θ = 80 2 π + 0 - 0 + 0

∫ 0 2 π ∫ 0 4 10 r + r 2 c o s θ d r d θ = 160 π

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 4 10 r + r 2 c o s θ d r d θ = 160 π

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