Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = x   x 2 + y e os planos x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 1 e z = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o volume do sólido limitado pela superfície z = x   x 2 + y e os planos x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 1 e z = 0 .

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral (aplicando os limites de integração):

∫ 0 1 ∫ 0 1 x   x 2 + y d x   d y

Para isso, temos que integrar primeiramente em relação a d x e depois para d y (ou vice-versa haha).

Lembrando que o y será uma constante quando estivermos desenvolvendo a integral quando tiver em relação a d x . E o mesmo acontece para x , quando em relação a d y .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a x ,vamos pegar essa integral:

∫ 0 1 x   x 2 + y d x

Aplicando a integral por substituição, temos:

u = x 2 ∴ d u = 2 x   d x

Logo, substituindo e desenvolvendo, encontramos:

= ∫ u + y 2 d u

Fazendo v = u + y ∴ d v = d u , temos:

= ∫ v 2 d v ∴

= 1 3 v 3 2 ∴

= 1 3 u + y 3 2 ∴

= 1 3 x 2 + y 3 2

Aplicando os limites de integração:

1 3 x 2 + y 3 2 1 0 ∴

= 1 3 1 + y 3 2 - y 3 2  

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x   x 2 + y d x   d y = ∫ 0 1 1 3 1 + y 3 2 - y 3 2   d y ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= 1 3 ∫ 0 1 1 + y 3 2   d y - ∫ 0 1 y 3 2   d y ∴

Fazendo u = y + 1 ∴ d u = d y , temos:

= 1 3 ∫ u 3 2 d u - 2 5 y 5 2 1 0 ∴

= 1 3 2 5 1 + y 5 2 - 2 5 y 5 2 1 0 ∴

= 4 15 2 2 - 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 4 15 2 2 - 1

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