Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral

b) ∫ 0 1 ∫ 0 1 9 - 3 x ² - 2 y ² d x d y

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 9 - 3 x ² - 2 y ² d x d y . Primeiro, vamos analisar que superfície a função f ( x , y ) = 9 - 3 x ² - 2 y ² descreve: Se fizermos f(x,y) = z = k constante, temos que as curvas de nível obtidas com as interseções dos planos z = k são elipses com equações dadas por:

3 x ² + 2 y ² = k - 9

Onde o valor máximo assumido por k é igual à 9, visto que 3x²+2y² é sempre positivo ou nulo.

Se fizermos x = k, constante, temos que as curvas de interseção com a superfície são definidas pelas equações

f ( x = k , y ) = z = ( 9 - 3 k ² ) - 2 y ²

Ou seja, no plano z-y, temos que as curvas de nível são parábolas com concavidade negativa. Temos algo semelhante para y = k constante, pois as curvas de interseção dos planos y = k com a superfície definida por f(x,y) são da forma:

f ( x ,   y = k ) = z = 9 - 3 x ² - 2 k ²

Ou seja, temos novamente parábolas com concavidade negativa. Então, a superfície definida pela função f(x,y) é um parabolóide com concavidade negativa e seções transversais elípticas, como ilustra a figura abaixo:

Agora, para esboçar o volume do sólido da integral, só precisamos desenhar os limites de integração do volume. Então bora lá!

Passo 2

Da integral vemos que os limites de integração para as duas variáveis x e y são 0 e 1. Então, o sólido cujo volume é dado pela integral nada mais é que o sólido contido entre os planos x = 0, x = 1 (em azul na figura a seguir), y = 0, y = 1 (em vermelho na figura abaixo) e a superfície descrita por f(x,y), em laranja na ilustração:

Resposta

Desenvolvida ao longo da questão.

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