Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UERJ - Cálculo 2 - Selecionados Lista 21 - 4c

Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:

z - x y = 0

y = x 2

y = - x + 3

y = 2 x

Passo 1

Bom, antes de mais nada, vamos desenhar essa região do enunciado.

Obs: Tem uma superfície de equação meio esquisita aí, não é?

z = x y

Não é necessário para essa questão que você saiba que superfície é essa, mas, a título de curiosidade, vamos mostrar aqui. Essa é uma cela, oblíqua aos eixos coordenados x e y :

Se você não soubesse disso na questão não tinha problema nenhum, basta você entender que essa superfície limita a região “por cima” dela, já que é a única equação do enunciado em que a coordenada z está presente. Bom, vamos lá.

Nós temos a superfície z = x y , que já vimos. Temos também y = x 2 , basta desenhar a reta no plano x y e alongar pelo eixo z , formando um plano. Fazemos o mesmo para os planos y = 2 x e y = - x + 3 .

Temos então a seguinte região:

Outro ângulo, para você visualizar melhor:

Beleza? Como o problema não menciona nenhum plano fechando a região por baixo, vamos assumir que z 0 , ou seja, que o volume é limitado pelo plano z = 0 . Agora, chamando de W essa região que acabamos de analisar, o problema pede então volume W .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Certo, agora precisamos escrever matematicamente essa região, ok? Vemos que, na coordenada z ela é limitada por duas funções ( z = x y e z = 0 ) e no plano x y , por uma área, que chamaremos de D .

Sendo assim, esse volume pode ser escrito da seguinte forma:

W = { ( x , y , z ) | x , y D ;   0 z x y }

volume W = D   x y - 0 d A

volume W = D   x y d A

Passo 3

Agora precisamos escrever matematicamente essa área D , como em qualquer integral dupla que já fizemos. Imagine o sólido visto de cima, temos isso aqui:

Essa é a área que limita W no plano x y . Vamos descrevê-la como uma região do tipo I, na coordenada y ela é limitada por funções e na coordenada x é limitada por números. Aqui não tem jeito, precisamos dividir essa região em duas, a da esquerda com 0 x 1 e a da direita com 1 < x 2 . Vamos chamá-las de D 1 e D 2 , D = D 1 D 2 .

A região da esquerda é limitada na coordenada y pela reta verde y = x / 2 e pela azul y = 2 x , enquanto a da esquerda é limitada pela reta roxa y = - x + 3 e pela verde y = x / 2 .

Podemos então escrever o seguinte:

D = D 1 D 2 = x , y | 0 x 1 ; x 2 y 2 x x , y | 1 < x 2 ; x 2 y - x + 3

Passo 4

Agora vamos substituir na integral esses intervalos que encontramos:

volume W = 0 1 x 2 2 x x y d y d x + 1 2 x 2 - x + 3 x y d y d x

Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que acompanhar os intervalos da integrais.

Passo 5

Agora em relação a y :

= 0 1 x y 2 2 x 2 2 x d x + 1 2 x y 2 2 x 2 - x + 3 d x =

= 0 1 2 x 3 - x 3 8 d x + 1 2 x - x + 3 2 2 - x 3 8 d x =

= 15 8 0 1 x 3 d x + 1 2 x 3 2 - 3 x 2 + 9 x 2 - x 3 8 d x =

Passo 6

Finalmente, em relação a x :

= 15 32 x 4 0 1 + x 4 8 - x 3 + 9 x 2 4 - x 4 32 1 2 =

= 15 32 + - x 3 + 9 x 2 4 + 3 x 4 32 1 2 =

= 15 32 - 8 + 9 + 3 2 + 1 - 9 4 - 3 32 =

= 13 8

Resposta

volume W = 13 8

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas