Calcule o volume do solido limitado pelos paraboloides

z = x 2 + y 2

z = 6 - x 2 - y 2

Passo 1

Com a ajuda do nosso querido GeoGebra iremos visualizar o solido que iremos calcular o volume

Para se calcular o volume de um solido por meio de integração, a relação que usamos é

V =   ∭ d x d y d x

Passo 2

Como o solido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas.

x = r cos ⁡ α

y = r sin ⁡ α

z = z

J = r

Vamos agora encontrar os intervalos de integração. Substituindo nossa parametrização:

z = 6 - ( r cos ⁡ α ) ² - ( r sin ⁡ α ) ²

z = 6 - r 2

Para o outro paraboloide:

z = x 2 + y 2

z = r 2 cos 2 ⁡ α + r 2 sin 2 ⁡ α

z = r 2

Então agora sabemos que os valores de z variam entre r 2 ≤ z ≤ 6 - r 2 . Pelo próprio desenho gerado, sabemos que o ângulo α varia entre 0 ≤ α ≤ 2 π . A última variação que precisamos encontrar é do nosso querido r.

Para isso, iremos realizar a igualdade entre as duas paraboloides, e assim encontrar o valor máximo de r.

r 2 = 6 - r 2

r 2 = 3

r = 3

Passo 3

Agora finalmente podemos montar e começar a resolver nossa integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ r 2 6 - r 2 r d z d r d α

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r ( 6 - r 2 - r 2 ) d r d α

= ∫ 0 2 π 9 2 d α

= 9 π

E aqui terminamos nossa questão, espero que tenham aprendido um pouco mais hoje. Forte abraço e até uma próxima.

Resposta

= 9 π

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