(Cap 15.2 – Ex 28) Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z = 1 + e x   s e n   y e pelos planos x = ± 1   ,   y = 0   ,   y = π e z = 0 .

Passo 1

Falaiii pessoal, show de bola?

Bora lá!

Pessoal, pra determinar o volume desse sólido, primeiro precisamos escrever uma integral dupla que o descreva.

Pra achar os limites de integração, olhamos para os planos que delimilitam o sólido:

Ele diz que x = ± 1 , ou seja já achamos nosso primeiro limite hehe

E também que y = 0 ,   y = π esse é o nosso segundo limite

V = ∫ 0 π ∫ - 1 1 z x ,   y d x   d y

Obtemos z a partir da equação da superfície:

V = ∫ 0 π ∫ - 1 1 1 + e x   s e n   y d x   d y

Passo 2

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ - 1 1 ∫ 0 π 1 + e x   s e n   y d x   d y

= ∫ - 1 1 ∫ 0 π 1 + e x   s e n   y d x d y

Vamos focar primeiro na de dentro

= ∫ - 1 1 y - e x cos ⁡ y 0 π d x

= ∫ - 1 1 π - e x cos ⁡ π - 0 + e x cos ⁡ 0 d x

= ∫ - 1 1 π + e x + e x d x

Passo 3

Dentro

= ∫ - 1 1 π + 2 e x d x

= π x + 2 e x - 1 1

= π + 2 e + π - 2 e - 1

= 2 π + 2 ( e - e - 1 )

= 2 ( π + e - e - 1 )

Resposta

Portanto,

2 ( π + e - e - 1 )

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