Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 916

Calcule o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide elíptico x 2 + 2 y 2 + z = 16 , pelos planos x = 2 e y = 2 e pelos 3 planos coordenados.

Passo 1

Para entender o que está sendo pedido, vamos fazer um esboço. Esse seria o paraboloide que o enunciado menciona, vamos primeiro desenhar esse paraboloide:

Repara que a sua equação é

z = 16 - x 2 - 2 y 2

Então o vértice desse paraboloide está no 16 , vai ficar como na figura de baixo.

Mas o problema diz que a superfície é cortada pelos 3 planos coordenados ( x = 0 , y = 0 e z = 0 ) e também pelos planos x = 2 e y = 2 , certo? Faremos isso. Vamos manter o paraboloide limitado com

x 0,2

y 0,2

O gráfico vai ficar

Pronto, é o volume dessa região que a questão pede (uma caixa com a parte de cima curva).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora devemos montar o problema em linguagem matemática. Para isso, basta você se lembrar da definição de Integrais Duplas. Integrar uma função f x , y = z em uma região do plano x y não é equivalente a calcular o volume entre essa superfície e esse plano? Então é isso que faremos.

Vamos escrever a equação do paraboloide em função de x e y . Basta isolar o z :

z = 16 - x 2 - 2 y 2 = f x , y

Note que, como os coeficientes de x 2 e de y 2 ficaram negativos, o paraboloide está virado para baixo. Nunca teremos um valor de z maior que 16 (quando x e y são iguais a zero).

Montaremos, então, a integral:

V = R   f x , y   d x   d y = R   16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y

Passo 3

Para calcularmos essa integral dupla, vamos separá-la em integrais simples:

a b   c d 16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y

Devemos, então, encontrar os valores dos limites de integração a , b , c , e d . Repare que a região formada no plano x y ,abaixo do pedaço que restou do paraboloide, é um retângulo que pode ser escrito assim:

R = 0,2 × [ 0,2 ]

Pois tanto x como y variam entre 0 e 2 . Basta, agora, escrever esses números na integral:

0 2   0 2 16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y

Passo 4

Vamos começar integrando em x (a integral de dentro):

0 2   0 2 16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y =

= 0 2   16 x - x 3 3 - 2 x y 2 x = 0 x = 2 d y =

= 0 2 16 × 2 - 8 3 - 2 × 2 y 2 - 0   d y =

= 0 2 88 3 - 4 y 2   d y

Passo 5

Agora, vamos integrar em y :

88 y 3 - 4 y 3 3 y = 0 y = 2 =

= 88 × 2 3 - 4 × 8 3 - 0 = 48

Resposta

48

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