Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 11

  1. Calcule o volume do sólido interior à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e ao cilindro x 2 + y 2 = 4 x e acima do plano z = 0 .

Passo 1

Pow! O problema nos pediu um volume de sólido, e a essa altura, podemos calcular um volume utilizando uma... I n t e g r a l   D u p l a   : )

V o l u m e = D   f x ,   y d A

Mas veja que para resolver essa integral aí necessitamos de algumas informações:

  • Quem é o f ( x ,   y ) ?
  • Quem é a região de integração D ?
  • Para ambas as perguntas, vamos encontrar as respostas no esboço do sólido no espaço. Bora?

    Passo 2

    Pois bem! O sólido que estamos trabalhando está delimitado pela esfera

    x 2 + y 2 + z 2 = 16

    Essa é uma esfera normal e de raio 4 :

    Mas não queremos toda a esfera, por isso o problema nos limita a esfera pelo plano z = 0 , ou melhor, o próprio plano X Y

    Passo 3

    Contudo, ainda não terminamos de encontrar o sólido, afinal de contas existe um cilindro x 2 + y 2 = 4 x que delimita essa região.

    Porém esse cilindro não é como estamos acostumados, ao redor do e i x o   z bonitinho,

    ele é um cilindro deslocado, quer ver só?!

    Passa esse 4 x pro outro lado...

    x 2 + y 2 = 4 x                   x 2 - 4 x + y 2 = 0

    Esse termo 4 x aparece se fizermos x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4 . Mas pra fazermos isso temos que colocar 4 na equação e tirarmos ao mesmo tempo (para não alterar a expressão)

    x 2 - 4 x + 4 - 4 + y 2 = 0

    Olha que bacana! Agora podemos...

    x 2 - 4 x + 4 - 4 + y 2 = 0                     x - 2 2 - 4 + y 2 = 0

    x - 2 2 + y 2 = 4

    RA! É de fato um cilindro de raio 2 muito parecido com o de cima, mas ele está deslocado 2 unidades em x

    Assim, o sólido que queremos está dentro desse cilindro deslocado

    Passo 4

    Agora já conseguimos juntos aqui responder a primeira pergunta:

  • Quem é o f ( x ,   y ) ?
  • Afinal de contas você já sabe que essa função aí é a função que representa a superfície “teto” do sólido, certo?

    E quem é essa superfície?

    Exato! O pedacinho de esfera ;)

    Como a esfera tem essa equação aqui x 2 + y 2 + z 2 = 4 , precisamos mexer um pouquinho nela a transformando nessa função de x e y , bastando isolar o z no caso...

    x 2 + y 2 + z 2 = 16                                   z 2 = 16 - x 2 + y 2

    z = ± 16 - x 2 + y 2

    como o teto esta em cima...

    f x , y = 16 - x 2 + y 2

    Passo 5

    Quanto a essa pergunta aqui...

  • Quem é a região de integração D ?
  • como x e y são as variáveis principais, devemos encontrar essa região na “sombra” do sólido S no plano X Y .

    Olhando então apenas para essa sombra de cima pra baixo obtemos...

    As variáveis x e y estão aí dentro

    Passo 6

    Pow! Estamos trabalhando com uma região circular, ou seja, vamos utilizar as coordenadas polares:

    x = r cos θ

    y = r sin θ

    Uma equação que nos ajuda muito é a equação da circunferência...

    x 2 + y 2 = r 2

    E, claro, o Jacobiano:

    J = r

    Passo 7

    Mas como você já sabe, nunca podemos sair das mudanças sem dizer onde os novos caras, r e θ no caso, estão variando.

    Tenha bem em mente quem é a região D :

    O θ é o ângulo que varia nessa região saindo do eixo x , dessa forma

    Pra ele começar varrendo lá de baixo, devemos ter

    - π 2 θ π 2

    Quanto, ao raio, se você notar, ele varia de 0 até a circunferência azul

    0 r C i r c u n f e r ê n c i a   a z u l

    Como a circunferência azul tem equação do cilindro no plano z = 0 , x 2 + y 2 = 4 x , basta substituir as polares

    x 2 + y 2 = 4 x                   r 2 = 4 r cos θ

    r = 4 cos θ

    Logo

    0 r C i r c u n f e r ê n c i a   a z u l

    0 r 4 cos θ

    Passo 8

    Nessa mudança é fundamental não se esquecer de trocar a função que estamos trabalhando pelas novas coordenadas:

    f x ,   y = 16 - x 2 + y 2

    substituindo...

    16 - r 2

    não se esqueça de multiplicar pelo J a c o b i a n o , heim!

    r 16 - r 2

    Logo essa é a função que estamos trabalhando agora

    Passo 9

    Montando a integral, agora, com todos os dois dados principais:

  • r 16 - r 2
  • D : 0 r 4 cos θ

- π 2 θ π 2

D   f x ,   y d A = - π 2 π 2 0 4 cos θ r 16 - r 2   d r d θ

Resolvendo primeiro a integral de dentro...

V o l u m e = - π 2 π 2 0 1 r 16 - r 2 d r   d θ

Pow! Essa integral de dentro aí pode ser resolvida caso façamos uma troca:

16 - r 2 = t

d t =   - 2 r   d r                       r d r = - d t 2

antes de substituirmos, não esqueça de trocar os limites também

r = 0                                   t = 16 - 0 2 = 16

r = 4 cos θ                                   t = 16 - 4 cos θ 2           S i m p l i f i c a n d o e   l e m b r a n d o   q u e   sin 2 θ + cos 2 θ = 1                 t = 16 sin 2 θ

- π 2 π 2 0 1 r 4 - r 2 d r   d θ = - π 2 π 2 16 16 sin 2 θ t - d t 2   d θ =

- π 2 π 2 16 16 sin 2 θ - t d t 2   d θ

integrando...

- π 2 π 2 - t 3 2 3 16 16 sin 2 θ   d θ =

- π 2 π 2 - 16 sin 2 θ 3 2 3 - - 16 3 2 3 d θ =

Sabendo que x 3 2 = x 3 = x x , podemos simplificar

- π 2 π 2 16 16 3 - 16 sin 2 θ 16 sin 2 θ 3 d θ =

- π 2 π 2 64 3 - 16 sin 2 θ 16 sin 2 θ 3 d θ = - π 2 π 2 64 3 d θ - - π 2 π 2 16 sin 2 θ 16 sin 2 θ 3 d θ

A primeira integral é fácil, afinal é uma constante ali dentro

= 64 π 3 - - π 2 π 2 16 sin 2 θ 16 sin 2 θ 3 d θ =

Quanto a essa segunda integral aí, tome cuidado! Pois: 16 sin 2 θ = 4 sin θ

64 π 3 - - π 2 π 2 16 sin 2 θ 16 sin 2 θ 3 d θ = 64 π - - π 2 π 2 16 sin 2 θ 4 sin θ 3 d θ

Logo temos que separar essa integral uma pros negativos e outra pros positivos, veja

64 π 3 - 0 π 2 16 sin 2 θ 4 sin θ 3 d θ + - π 2 0 16 sin 2 θ - 4 sin θ 3 d θ =

64 π 3 - 0 π 2 64 sin 3 θ 3 d θ + - π 2 0 - 64 sin 3 θ 3 d θ =

Mas não se preocupe que apenas precisaremos calcular uma integral, afinal anota esse bizu:

Quando temos uma integral em um intervalo simétrico - π 2 ;   π 2 e, além disso, a função é a mesma com a única diferença que ela tem um sinal no lado positivo e outro no lado negativo, então

0 π 2 64 sin 3 θ 3 d θ + - π 2 0 - 64 sin 3 θ 3 d θ = 2 0 π 2 64 sin 3 θ 3

Assim

64 π 3 - 2 0 π 2 64 sin 3 θ 3

Bora calcular essa integral? (vamos trabalhar com ela indefinida aqui apenas para não atrapalhar o raciocínio):

sin 3 θ d θ =

Como o coeficiente do seno é impar, podemos separar dessa forma

sin 2 θ sin θ d θ

onde lembrando que sin 2 θ = 1 - cos 2 θ ...

1 - cos 2 θ sin θ d θ =

sin θ d θ + cos 2 θ - sin θ d θ

Essa primeira integral é easy

- cos θ + cos 2 θ - sin θ d θ

Quanto a essa segunda, basta fazer uma mudança

cos θ = t                 d t = - sin θ d θ

- cos θ + t 2 d t = - cos θ + t 3 3 =

Onde encontraremos como resultado final...

sin 3 θ d θ = - cos θ + cos θ 3 3 + C

Voltando para a integral

64 π 3 - 2 0 π 2 64 sin 3 θ 3 = 64 π - 2 64 3 - cos θ + cos θ 3 3 0 π 2 =

64 π 3 - 2 64 3 - cos π 2 + cos π 2 3 3 - - cos 0 + cos 0 3 3 =

64 π 3 - 2 64 3 - 0 + 0 3 3 - - 1 + 1 3 3 = 64 π - 2 64 3 2 3 =

64 π 3 - 4 64 9

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Resposta

64 π 3 - 4 64 9

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