Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2014.1, Questão 3b

Considere a região espacial

U = x , y , z R 3   0 z 2 x + y ,     x + y 1 ,     x 0 ,     y 0  

b) Calcule o volume de U

Passo 1

O sólido U tem a limitação em z , ou seja ele é o volume entre a função z = 2 x + y e o plano x y . Vimos na teoria que esse volume vai ser

V U = R 2 x + y d x d y

Com R sendo a região da base desse sólido.

Vamos ver como é o gráfico dessa base

Neste caso, podemos fazer essa região sendo do tipo I ou do tipo II, tanto faz. Vamos fazer uma região do tipo I

Para isso vamos ter

R = { x , y | a x b ,   g 1 x y g 2 x }

Conseguimos ver que x vai de 0 à 1 , enquanto y vai de 0 à reta, a reta vai ser

x + y = 1

y = 1 - x

A região vai ficar

R = { x , y | 0 x 1 ,   0 y 1 - x }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A integral vai ficar

V U = 0 1 0 1 - x 2 x + y d y d x = 0 1 0 1 - x 2 x 2 y d y d x

Vamos ver como fazer a integral de

2 y d y

Vamos lembrar que 2 x = e x ln 2 , a integral fica

e y ln 2 d y

Fazendo u = y ln 2 , vamos achar sua derivada

d u = ln 2 d y

d y = d u ln 2

A integral fica

e y ln 2 d y = e u d u ln 2 = 1 ln 2 e u d u = e u ln 2

Voltando para y vamos ter

e u ln 2 = e y ln 2 ln 2

Usando as propriedades de log

e y ln 2 ln 2 = 2 y ln 2

Passo 3

Voltando para a integral

0 1 2 x 2 x ln 2 0 1 - x d x = 0 1 2 x 2 1 - x ln 2 - 2 0 ln 2 d x = 0 1 2.2 x 2 - x ln 2 - 2 x ln 2 d x

0 1 2 ln 2 - 2 x ln 2 d x = 1 ln 2 0 1 2 - 2 x d x = 1 ln 2 2 x - 2 x ln 2 x = 0 1

1 ln 2 2.1 - 2 1 ln 2 - 2.0 - 2 0 ln 2 = 1 ln 2 2 - 2 ln 2 - - 1 ln 2

1 ln 2 2 - 2 ln 2 + 1 ln 2 = 1 ln 2 2 - 1 ln 2 = 2 ln 2 - 1 ln 2 2

Resposta

  1. V U = 2 ln 2 - 1 ln 2 2

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