Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2013.1, Questão 1

Considere a região espacial

U = x , y , z R 3 - 4 + x 2 9 + y 2 16 z 4 - x 2 9 - y 2 16

  1. Identifique a fronteira da região plana
  2. R = U x , y , z R 3 z = 0

    Como uma cônica clássica, ou seja, determine sua equação e seu nome.

  3. Escreva a fronteira de U como uma união de superfícies S 1 S 2 , determinando cada uma delas através de desigualdades ou igualdades. Esboce a fronteira de U
  4. Calcule o volume do sólido V , onde
  5. V = U x , y , z R 3 0 x 3,0 y 2

  6. Descreva, através de desigualdades ou igualdades, a parte da fronteira de V que está contida no plano x = 3

Passo 1

a) Vamos lá! A fronteira de U é uma superfície, e z = 0 é o plano O x y . A interseção dos dois nos vai dar uma curva, certo? É desta cônica que o enunciado está falando ;)

Ok, e como a encontramos? Simplesmente trocando os sinais de " " e " "   de U por sinais de " = " para termos uma superfície, e colocando z = 0 ! Se você perceber, tanto para a inequação do lado direito, como para a do lado esquerdo, colocando z = 0 , teremos:

x 2 9 + y 2 16 = 4

E que curva é essa? É uma elipse! Tenha sempre em mente: Se temos x 2 e y 2 somados, pode ser uma elipse ou circunferência. Se os denominadores deles forem diferentes, é uma elipse!

Isso acontece pois, na verdade, tanto z = - 4 + x 2 9 + y 2 16 como z = 4 - x 2 9 - y 2 16 são paraboloides simétricos um ao outro em relação à z = 0 . Quando formos esboçá-los mais a frente, ficará mais claro, mas, por enquanto, apenas trabalhemos na teoria, fazendo a interseção das superfícies com o plano z = 0 e vendo que dá a mesma curva!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) A fronteira de U é a casca do volume - 4 + x 2 9 + y 2 16 z 4 - x 2 9 - y 2 16 , certo? Então, para pegar essa superfície, trocamos esses sinais de “maior/menor que” por sinais de igual, e teremos as seguintes superfícies:

S 1 - 4 + x 2 9 + y 2 16 = z

S 2 4 - x 2 9 - y 2 16 = z

Beleza, agora podemos ver quem é cada uma ;)

Passo 3

A maneira mais rápida de esboçar qualquer superfície, é zerar cada uma das variáveis e observar a projeção no plano formado pelas outras duas. Por exemplo, para a S 1 , se zerarmos a variável y , teremos, no plano O x z :

- 4 + x 2 9 + 0 2 16 = z

- 4 + x 2 9 = z

Que é uma parábola com a boca aberta para o sentido positivo do eixo z , deslocada em - 4 também no eixo z !

Da mesma forma, zerando a variável x , teremos:

- 4 + 0 2 9 + y 2 16 = z

- 4 + y 2 16 = z

E essa é uma parábola, exatamente como a outra, mas dessa vez no plano O y z ! Assim, fica fácil de ver que temos um paraboloide elíptico! Por que elíptico? Porque no plano z = 0 , ou seja, em O x y , que fizemos no passo anterior, vimos que a projeção era uma elípse!

Aqui vai seu esboço:

Passo 4

Vamos para a outra agora:

4 - x 2 9 - y 2 16 = z

O processo é exatamente o mesmo! Vamos, para essa superfície, zerar a componente x ? Teremos:

4 - 0 2 9 - y 2 16 = z

4 - y 2 16 = z

Agora temos uma parábola, no plano O y z , com a boca virar no sentido negativo do eixo z , e deslocada em 4 no sentido positivo desse eixo!

Show, agora, vamos zerar a variável y :

4 - x 2 9 - 0 2 16 = z

4 - x 2 9 = z

E temos outra parábola (de novo!!), com a boca no sentido negativo do eixo z , e deslocada em 4 no sentido positivo!

Percebe que temos o mesmo paraboloide que do passo anterior, mas agora apontando para baixo? Olha ele aqui:

Passo 5

Beleza, temos uma superfície, temos outra... e aí? Agora só temos que fazer a união das duas! Veja, como elas cortam o plano O x y na mesma elipse, aquela do passo 1, temos uma casca fechada certinho :D

Enfim, juntando os dois paraboloides, teremos:

Essa aí é “fronteira de U ”. E, apenas para efeitos de resposta formal, podemos defini-la assim:

S 1 = x , y , z R 3 - 4 + x 2 9 + y 2 16 = z ,   z 0

S 2 = x , y , z R 3 4 - x 2 9 - y 2 16 = z ,   z 0

Ou seja, o conjunto dos pontos x , y , z pertencentes ao R 3 , tais que respeitam a equação de cada paraboloide, sendo que, os da S 1 têm coordenada z 0 , e da S 2 tem coordenada z 0 ;)

Passo 6

c) Essa interseção do enunciado nada mais é do que a parte do volume U que temos quando percorremos de 0   a 3 no eixo x , e de 0 a 2 no eixo y ! Assim, para saber o volume, a função que devemos integrar é o elipsoide de cima menos o de baixo!

Teremos, então:

0 2 0 3 4 - x 2 9 - y 2 16 - - 4 + x 2 9 + y 2 16 d x d y

Perceba que o elipsoide de cima, é o que tem a boa para baixo, e o de baixo é o que tem a boca para cima!

Desenvolvendo, temos:

0 2 0 3 2.4 - 2 . x 2 9 - 2 . y 2 16 d x d y

Tirando a constante pra fora,

2 0 2 0 3 4 - x 2 9 - y 2 16 d x d y

Resolvendo a integral de dentro,

2 0 2 4 x - x 3 27 - x y 2 16 0 3 d y

2 0 2 4.3 - 27 27 - 3 y 2 16 d y

2 0 2 11 - 3 y 2 16 d y

Agora, resolvendo a integral em relação a d y ,

2 0 2 11 y - 3 y 3 16.3 d y

2 11 y - 3 y 3 16.3 0 2

2 11.2 - 3.8 16.3

2 22 - 1 2 = 43

Eis aí o volume! 43 unidades de volume :D

Passo 7

d) Queremos agora a fatia de V para quando x = 3 , certo? Bom, como essa é a única restrição que estamos aplicando em V , tudo o que temos que fazer é pegar a definição de V e fazer x = 3 !

Mas como definimos V ? V é o volume U com as restrições de 0 x 3 e 0 y 2 !

Assim:

V = x , y , z R 3 0 x 3   , 0 y 2 , - 4 + x 2 9 + y 2 16 z 4 - x 2 9 - y 2 16

Agora, basta colocar x = 3 :

F r o n t V = x , y , z R 3 x = 3   , 0 y 2 , - 4 + 3 2 9 + y 2 16 z 4 - 3 2 9 - y 2 16

F r o n t V = x , y , z R 3 x = 3   , 0 y 2 , - 3 + y 2 16 z 3 - y 2 16

E pronto! Temos essa fronteira de V definida para x = 3 :D

Resposta

a) x 2 9 + y 2 16 = 4

b) S 1 = x , y , z R 3 - 4 + x 2 9 + y 2 16 = z ,   z 0 ; S 2 = x , y , z R 3 4 - x 2 9 - y 2 16 = z ,   z 0

c) 43

d) F r o n t V = x , y , z R 3 x = 3   , 0 y 2 , - 3 + y 2 16 z 3 - y 2 16

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