Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2013.2, Questão 2

Considere a região espacial

U = x , y , z R 3 0 < z x 1 + y , x , y R

Onde R é a região plana descrita na questão 1 .

  1. Expresse o volume de U como uma soma de integrais iteradas nas variáveis cartesianas x e y , integrando primeiro em relação a y e em seguida com respeito a x . (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral)
  2. Expresse o volume de U como uma soma de integrais iteradas nas variáveis cartesianas x e y , integrando primeiro em relação a x e em seguida com respeito a y . (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral)
  3. Calcule o volume de U (usando o método que preferir)

OBS: faça essa questão depois de dar uma olhada na primeira questão dessa prova, elas tem relação.

Passo 1

Primeiro vamos relembrar a região R

R 1 = x , y R 2 x 2 + y 2 2

R 2 = x , y R 2 x 0 ,   y 0

R 3 = x , y R 2 x y 2

Com

R = R 1 R 2 R 3

Já vimos também que o ponto de encontro entre a parábola e a circunferência é o ponto

1,1

O volume vai ser

V = R z d x d y = R x y + 1 d x d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a )

Para escrevermos a integral da forma que ele quer vamos precisar escrever como a soma de duas integrais. Isso porque uma parte da figura, o valor de y , vai de 0 até a parábola, e em outra parte ele vai de 0 até a circunferência.

Vamos fazer a primeira parte, onde y , vai de 0 até a parábola,

O valor de x vai ser

0 x 1

Enquanto y vai ser

0 y

E o limite maior vai ser

y 2 = x

y = x

Sendo positivo porque temos y 0

Então a primeira região, R ' , vai ser

R ' = x , y R 2 0 x 1 ,   0 y x

Passo 3

A segunda parte vai ter o valor de y indo de 0 até a circunferência,

O limite maior vai ser

x 2 + y 2 = 2

y 2 = 2 - x 2

y = 2 - x 2

Isso, de novo, porque y 0

Os valores de x vão de 1 até o fim da circunferência, no caso, 2

Então a segunda região, R ' ' , vai ser

R ' ' = x , y R 2 1 x 2 ,   0 y 2 - x 2

Passo 4

A integral vai ficar

V = 0 1 0 x x y + 1 d y d x + 1 2 0 2 - x 2 x y + 1 d y d x

Passo 5

b )

Já vimos na questão 1 que a região R vai ser

R = x , y R 2 0 y 1 ,   y 2 x 2 - y 2

Então a integral vai ficar

V = 0 1 y 2 2 - y 2 x y + 1 d x d y

Passo 6

A integral que achamos no final do passo 5 é mais fácil, isso porque integral x é levemente tranquilo rs. Vamos usar essa integral

V = 0 1 y 2 2 - y 2 x y + 1 d x d y = 0 1 x 2 2 y + 1 x = y 2 x = 2 - y 2 d y = 0 1 2 - y 2 2 - y 2 2 2 y + 1 d y

V = 0 1 2 - y 2 - y 4 2 y + 1 d y = - 1 2 0 1 - 2 + y 2 + y 4 y + 1 d y

Vamos usar um pouco de álgebra nesse fração

- 2 + y 2 + y 4 y + 1

Se imaginarmos y 2 = t a parte de cima é

t 2 + t - 2

Fazendo as raízes, vamos achar t = 1 , t = - 2 e a fatoração fica

t - 1 t + 2

Trocando por y 2

y 2 - 1 y 2 + 2

Fatorando mais um pouquinho

y 2 - 1 y 2 + 2 = y - 1 y + 1 y 2 + 2

Deixando a fração assim

y - 1 y + 1 y 2 + 2 y + 1 = y - 1 y 2 + 2 = y 3 + 2 y - y 2 - 2 = y 3 - y 2 + 2 y - 2

A integral vai ficar

V = - 1 2 0 1 y 3 - y 2 + 2 y - 2 d y = - 1 2 y 4 4 - y 3 3 + 2 y 2 2 - 2 y y = 0 1

V = - 1 2 1 4 - 1 3 + 2.1 2 - 2.1 = - 1 2 . 3 - 4 + 12 - 24 12 = - 1 2 . - 13 12 = 13 24

Resposta

  1. V = 0 1 0 x x y + 1 d y d x + 1 2 0 2 - x 2 x y + 1 d y d x
  2. V = 0 1 y 2 2 - y 2 x y + 1 d x d y
  3. V = 13 24

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