Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2019.1, Questão 2

Considere a região do espaço

U = x , y , z R 3 1 + x 2 + y 2 z 2 } .  

  1. Considere a região do plano y z ,   R = U p l a n o   y z .   Considere Fr(R), a fronteira de R.
  2. Desenhe R, explicitando na figura os dois pontos P 1   e   P 2 da fronteira Fr(R) que pertencem ao eixo z.

  3. Calcule o volume de U .

Passo 1

Para começar essas questão, vamos ver a planificação no plano yz. Para isso, faremos x=0

1 + x 2 + y 2 = z

1 + + y 2 = z

z = 1 + y

Além disso temos ainda o plano z=2.

Ficamos então com:

Os pontos que pertencem ao eixo z serão então:

P 1 = 0,2

O segundo ponto será aquele da função de baixo (vermelha) tem y=o

Logo:

z = 1 + y

z = 1

z = 1

Logo:

P 2 = ( 0,1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra B ele nos pede para calcular o volume. Bom, vamos então montar a integral, fazendo uma mudança de coordenadas, onde:

x = r   c o s θ

y = r   s e n   θ

J = r

Quando vista debaixo, a região que estamos trabalhando é essa:

Observe então que o z varia entre a função debaixo 1 + x 2 + y 2 e a de cima (2).

Para descobrir a variação de r   e   θ , percebemos que θ varia entre 0 e 2 π , enquanto para r, substituímos na equação.

Observe que temos o r máximo quando z=2. Logo:

1 + x 2 + y 2 = z = 2

1 + x 2 + y 2 = 2

1 + x 2 + y 2 = 4  

x 2 + y 2 = 3

x 2 + y 2 = 3 2

r 2 cos 2 θ + r ²   s e n 2 θ = 3 2  

r 2 = 3 2

r = 3

Passo 3

Nosso próximo passo será então montar a integral (sem esquecer de escrever o campo em função das novas coordenadas e do jacobiano).

0 2 π 0 3 2 - 1 + r 2 .   r   d r   d θ

0 2 π 0 3 ( 2 - 1 + r )   r   d r   d θ

0 2 π 0 3 2 r - r 1 + r   d r   d θ

Resolvendo primeiro a integral de dentro ficamos com:

0 3 2 r   d r -   0 3 r   1 + r   d r    

2 r 2 2 | 3 0 - 0 3 r   1 + r   d r  

9 - 0 3 r   1 + r   d r  

Fazendo uma substituição simples:

u = r + 1

d u = d r

9 - u - 1 u 1 2 d u  

9 - u 3 2 - u 1 2   d u

9 - ( 2 u 5 2 5 - 2 u 3 2 3 )

9 - 2 r + 1 5 2 5 - 2 r + 1 3 2 3 0 3

9 - 112 15

23 15

Trazendo o restante da integral de volta:

0 2 π 23 15   d θ

23 15   2 π

= 46 π 15

Resposta

= 46 π 15

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