Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2012.2, Questão 1e

Considere a região plana S definida por

S = x , y R 2 - e x y e x ,   0 x 2

e) Calcule o volume da região espacial:

U = x , y , z R 3 0 z x ,   - e x y e x ,   0 x 2

Passo 1

e) Volume? Integral dupla de função! No caso, a função que devemos integrar, lembre, é a variação do z ! Olhando para a região, temos:

U = x , y , z R 3 0 z x ,   - e x y e x ,   0 x 2

Ou seja, o domínio de integração é a região S .

0 2 - e x e x F x , y d y d x

Sendo que F x , y = Δ z . Mas Δ z é x - 0 = x ! Então, temos que integrar:

0 2 - e x e x x   d y d x

Vamos ver como que fica isso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ter:

0 2 - e x e x x   d y d x =

0 2 x y y = - e x y = e x   d x =

0 2 x e x x e x   d x =

2 0 2 x e x   d x =

Tá... e que integral é essa, de x e x ? Estamos pensando em primitivas, certo? Então a pergunta é: o que, derivando, dá x e x ?

Para responder a essa pergunta, temo que perceber que, como o x aparece duas vezes, isso provém de uma “regra do produto”. E, ainda, que, se derivarmos x e x , teremos:

x e x ' = 1 . e x + x e x

Show? A derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro :) E viu o que temos no segundo termo? Exatamente o x e x ! E qual é o primeiro? É e x , cuja derivada é ele mesmo! Assim, para “corrigir” essa regra do produto, temos que a primitiva de x e x é x e x - e x , pois:

x e x - e x ' = 1 . e x + x e x - e x = x e x

Eu sei, não é nada intuitivo... muito e , muito x , mas na hora da prova saia inventando e derivando expressões parecidas, até encontrar a primitiva. Se você demorar mais do que 10 minutos nisso, passe para a próxima XD

Continuando, temos:

2 0 2 x e x   d x =

2 x e x - e x 0 2 =

2 2 e 2 - e 2 - - 0 - - 1 =

2 e 2 + 2

Pronto, essa já foi!

Resposta

e) Volume = 2 e 2 + 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas