Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2017.1, Questão 1

Considere a região do plano

R = x , y R 2 |   0 y sin 2 x ,   π 8 x π 2

  1. Desenhe R (hachurando). Ao lado desenhe o interior de R (pontilhando) e desenhe a fronteira de R (tracejando). Determine a fronteira de R , usando desigualdades e igualdades.
  2. Sabendo que a área de R é dada por Á r e a   R = 2 4 + 1 2 ; calcule a integral dupla I abaixo:
  3. I = R 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 + s i n 2 x - x   d x d y

  4. Seja R a região do plano dada em ( * ) . Calcule o volume da região U   R 3 definida por:

U = x , y , z R 3 |   0 z 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 + sin 2 x - x + 2 ,   x , y R 2  

Passo 1

a) Vamos começar o nosso problema entendendo melhor as 4 equações que a gente pode tirar das inequações que formam a região:

y = 0

y = sin 2 x

x = π 8

x = π 2

A gente sabe que y = 0 representa uma reta paralela ao eixo x e que passa justamente por y = 0 (coincide com o nosso eixo O X ;).

De forma análoga, x = π / 8 e x = π / 2 são retas paralelas ao eixo y e que passam justamente por esses valores de x .

Mas calma! Quem é essa função seno mesmo?

Essa função é a função seno que a gente conhece, só que comprimida no eixo x , se lembra dela? :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora já podemos colocar tudo isso no plano cartesiano e representar o nosso R que está dentro dessas 4 equações. Dessa forma:

A gente pode representar a fronteira e o interior dessa forma:

Passo 3

Por fim, e não morra de tédio, nossa fronteira é formada por nossas equações, basta delimitá-las:)

A nossa fronteira laranja C está sob a curva do seno, porém, delimitada pelos x = π 8 e x = π 2

Logo, C estará bem representada por: C = π 8 x π 2

y = s i n ( 2 x )

L 1 e L 2 são as fronteiras sob as retas x = π 8 e y = 0 respectivamente.

A gente já sabe que a curva L 1 está limitada por 0 e pela curva do seno. O nosso limite superior, será justamente a intercessão com essa curva

x = π 8 y = sin 2 x             y = sin 2 π 8         y = sin π 4     y = 2 2

Assim, L 1 estará bem representada por

L 1 =   0 y 2 2

x = π 8

E de modo análogo, teremos para L 2

L 2 =   π 8 x π 2

y = 0

Passo 4

b) muita calma nessa hora! Antes de começarmos a resolver a integral como um matemático louco, bora descrever essa região R aí?

Podemos descrevê-la como uma região do Tipo 1, onde x varia de π 8 até π 2 e y varia de 0 até a nossa função seno, ou seja:

π 8 x π 2

0 y s i n ( 2 x )

Passo 5

Prontinho! :) Agora, vamos tentar deixar essa integral um pouco mais fácil separando em duas integrais pela propriedade da adição, dessa forma aqui

R 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 + sin 2 x - x d x d y = ( I ) R 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 d x d y + ( I I ) R sin 2 x - x d x d y

Começando pela integral ( I ) , teremos

R 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 d x d y = 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 R d x d y

sabendo que R d x d y representa a área da região, ganhamos

R 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 d x d y = 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 2 4 + 1 2 = π 16 + π 2 32

Passo 6

Para resolver a segunda integral, não tem por onde escapar: a gente tem que botar a mão na massa. Vem comigo montar a integral iterada:

R ( sin 2 x - x ) d x d y = π / 8 π / 2 0 s i n ( 2 x ) ( sin 2 x - x ) d y d x

Resolvendo primeiro a integral de dentro

π / 8 π / 2 ( sin 2 x - x ) . y 0 sin 2 x d x

π / 8 π / 2 sin 2 x - x sin 2 x d x = π / 8 π / 2 s i n 2 2 x - x . s i n ( 2 x ) d x = π / 8 π / 2 s i n 2 2 x d x - π / 8 π / 2 x . s i n ( 2 x ) d x

Ganhamos essas duas integrais de fora, onde a primeira a gente obtém o resultado lembrando da nossa identidade trigonométrica

s i n 2 θ = 1 - cos ( 2 θ )       2

Dessa forma:

π / 8 π / 2 s i n 2 2 x d x =   π / 8 π / 2 1 - cos 4 x 2 d x = 3 π 16 + 1 8

E resolvendo a segunda integral de fora por partes onde

u = x d u = d x

d v = sin 2 x d x v = - cos 2 x 2

π / 8 π / 2 x . s i n ( 2 x ) d x = - x . cos 2 x 2 - - cos 2 x 2 d x π / 8 π / 2 = - x . cos 2 x 2 + sin 2 x 4 π / 8 π / 2

Substituindo os limites de integração

π / 8 π / 2 x . s i n ( 2 x ) d x = π 4 + π 2 32 - 2 8

Concluímos que

R ( sin 2 x - x ) d x d y = π / 8 π / 2 s i n 2 2 x d x - π / 8 π / 2 x . s i n ( 2 x ) d x = - π 16 - π 2 32 + 1 8 + 2 8

E juntando as duas integrais calculadas, encontramos a solução da integral pedida

R 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 d x d y + R sin 2 x - x d x d y = 1 8 + 2 8

Passo 7

c) Se a gente lembrar que volume sobre o gráfico de uma função até o plano X Y é dado por R z x , y d x d y , a gente terá que

R 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 + sin 2 x - x + 2 d x d y = R 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 + sin 2 x - x d x d y + 2 R d x d y

A primeira integra a gente tem o resultado obtida no item anterior, basta somar com o dobro da área:)

R 4 2 + 2 π 16 + π 2 32 + sin 2 x - x + 2 d x d y = 2 + 1 8 + 2 2 + 2 4 = 5 2 + 9 8

Resposta

a )

b ) 1 8 + 2 8

c ) 5 2 + 9 8

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