Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2016.1, Questão 1

Considere R a região do plano tal que R = R 1 R 2 , onde

R 1 = x , y R 2     y 3 x 1 ,   0 y 1 }

R 2 = x , y R 2   - y 3 x 1 ,   - 1 y 0 }

Seja f :   R R , onde f x , y = 1 + x 2 ; x , y R

  1. Desenhe R e desenho ao lado o interior de R (pontilhando) e a fronteira de R .
  2. Seja a integral dupla
  3. I = R f x , y d x d y

    Escreva I como uma soma de duas integrais iteradas, integrando primeiramente com respeito a x e em seguida com respeito a y .

    Calcule I , usando a ordem de integração que preferir.

  4. Seja

U = x , y , z R 3 0 z 1 + x 2 , x , y R }  

Onde R é a região dada no enunciado inicial. Calcule o volume de U

Passo 1

Letra a)

Vamos lá galera, a questão aqui pede pra gente esboçar essa região, que na verdade é a união de duas regiões, vamos fazer cada uma de uma vez! Além disso, ele quer que a gente desenhe a mesma região só que com o contorno pontilhado e depois somente a fronteira. Já que a prova pede, quem somos nós pra dizer não, né? Vamos fazer os três esboços.

Entendendo a região R 1 , essa função x = y 3 não parece muito simples né? Vamos elevar ao cubo dos dois lados, fica assim

x 3 = y

y = 0 x = 0

y = 1 x = 1

Que já é um pouco mais conhecida! Perceba que, em R 1 só queremos o intervalo de 0 y 1 , nosso esboço é esse então

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A região R 2 é levemente diferente, primeiro porque os valores de y são negativos, perceba que ele varia de - 1 y 0 . Além disso, x é a raiz negativa de y :

x = - y 3

Se elevarmos ao cubo dos dois lados o sinal de menos não desaparece! Fica assim

x 3 = - y

y = - 1 x = 1

y = 0 x = 0

Temos a mesma função de R 1 , só que negativa! Como esboçamos isso? É só refletir a região R 1 pra baixo do eixo x, olha só

Pronto! Resolvido o problema! Agora ele pede pra gente desenhar a mesma função só que com a fronteira pontilhada para representar somente o interior de R . Seu pedido é uma ordem! Fica assim

E agora somente a fronteira de R

Passo 3

Letra b)

Aqui ele pede pra gente escrever a integral dupla da função f x , y = 1 + x 2 dentro dessa região que acabamos de esboçar, certo? Note que ele pede pra gente escrever como uma soma de duas integrais, seria isso aqui

I = R f x , y d x d y = ? f x , y d x d y + ? f x , y d x d y

Ou seja, precisamos de duas regiões que, juntas, dê exatamente a região R . Só que, percebe que R já é descrita como a união de R 1 e R 2 , portanto podemos reescrever essas integrais assim

I = R f x , y d x d y = R 1 f x , y d x d y + R 2 f x , y d x d y

Ótimo, os limites de R 1 e R 2 já são descritos no enunciado, só precisamos coloca-los nas integrais e substituir f x , y por 1 + x 2 , lembre que vamos escrever a integral primeiro em x e depois em y , portanto os limites da integral de fora estão associados a y e de dentro a x , assim olha

R 1 :

y 3 x 1

0 y 1

R 1 f x , y d x d y = 0 1 y 3 1 1 + x 2 d x d y

R 2 :

- y 3 x 1

- 1 y 0

R 2 f x , y d x d y = - 1 0 - y 3 1 1 + x 2 d x d y

Juntado as duas integrais

I = 0 1 y 3 1 1 + x 2 d x d y + - 1 0 - y 3 1 1 + x 2 d x d y

Passo 4

A segunda parte da letra b pede pra gente calcular essa integral ai na ordem que quiser, né? Se a gente tentar integrar da forma que está escrito a gente não consegue nem sair do lugar! Integrar 1 + x 2 em relação à x é simplesmente impossível, como vamos fazer isso então?

Po, quando a gente tem que fazer uma integral assim e não conseguimos, já vimos que podemos tentar inverter a ordem de integração! E como fazemos isso? Temos que voltar ao esboço e encontrar os novos limites, dá uma olhada aqui

Nossa região R é tudo isso ai, já reescrevemos esses limites de cima e de baixo em função de y , lembra? Ficou assim

y = x 3

y = - x 3

Perceba que, em toda região, y sempre está limitado em baixo por - x 3 e em cima por x 3 ! Ou seja, dá pra gente juntar as duas regiões em uma só com esses limites aqui

- x 3 y x 3

0 x 1

Passo 5

Vamos reescrever a integral e resolvê-la

I = 0 1 - x 3 x 3 1 + x 2 d y d x

Agora da pra integrar em y

= 0 1 x 3 - - x 3 1 + x 2 d x

= 0 1 1 - x 2 . 2 x 3 d x

Pra integrar isso ai vamos ter que fazer uma substituição

u = 1 + x 2 x 2 = u - 1

d u = 2 x   d x

Perceba que podemos escrever 2 x 3 como 2 x . x 2 , certo? Então

2 x 3 d x = x 2 2 x d x = ( u - 1 ) ( d u )

Voltando para a integral, os novos limites vão ser

x = 0 u = 1 + 0 2 = 1

x = 1 u = 1 + 1 2 = 2

1 2 u u - 1 d u

Lembre-se que u pode ser escrito como u 1 2 , com isso, multiplicando por ( u - 1 ) fica

1 2 u 3 2 - u 1 2 d u  

= 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 u = 1 u = 2 = 2 5 2 5 2 - 1 - 2 3 2 3 2 - 1

= 2 5 4 2 - 1 - 2 3 2 2 - 1

= 6 4 2 - 1 - 10 2 2 - 1 15

24 2 - 6 - 20 2 + 10 15 = 4 2 + 4 15

Passo 6

Letra c)

Aqui ele pede pra gente calcular o volume de U , sendo que essa região é limitada em x y pela mesma região que acabamos de trabalhar, então isso deve facilitar nossas contas.

Sabemos que o volume de um sólido limitado por z = 0 e por uma função f x , y pode ser dado pela integral dupla

D f x , y d x d y

Nesse caso o domínio D é a região R que já delimitamos e a função que limita z é 1 + x 2 , que já integramos também na letra b! Portanto, o volume dessa função pode ser dado por

R 1 + x 2 d x d y = 4 2 + 4 15

V = 4 2 + 4 15

Resposta

a)

b)

I = 0 1 y 3 1 1 + x 2 d x d y + - 1 0 - y 3 1 1 + x 2 d x d y = 4 2 + 4 15

c)

V = 4 2 + 4 15

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