Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2014.2, Questão 2

Considere o sólido

S = x , y , z R 3 0 z 4 - x 2 - y 2 ,   - x y x ,   x 0

  1. Faça um esboço de S .
  2. Calcule o volume de S .

Passo 1

Letra a)

Vamos por partes. Nós temos as seguintes superfícies limitando nossa região;

z = 0

z = 4 - x 2 - y 2

y = - x

y = x

x = 0

Nós sabemos que z = 4 - x 2 - y 2 é um paraboloide virado para baixo com simetria em z e ponto mais alto em z = 4 . As superfícies y = x e y = - x são planos perpendiculares ao plano x y , são como retas y = x e y = - x repetidas ao longo do eixo z . Vamos desenhar isso aí então:

Certo, agora temos que considerar que z 0 e z 0 . Fazendo esses cortes, vemos que o sólido que sobra é esse aqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Agora vamos calcular o volume desse sólido.

Como podemos ver, no plano x y , temos um domínio D . Em z , o sólido é limitado em cima pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e embaixo pelo plano z = 0 .

Então, a função que vamos integrar será 4 - x 2 - y 2 , em cima da região D definida no plano X Y .

Passo 3

Agora precisamos descrever esse domínio D . Para isso, vamos ver projeção do sólido plano x y :

Fazendo a interseção do paraboloide com o plano z = 0 , temos:

z = 0 = 4 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 4

Uma circunferência, como podemos ver na figura acima. Na verdade, é um setor, limidado pelas retas y = x e y = - x (que são os planos vistos de cima).

Como se trata de uma circunferência, vamos escrevê-la com coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

J = r

O raio vai desde r = 0 na origem até a circunferência, onde r = 2 . O intervalo de θ temos que descobrir fazendo a mudança polar na equação dos planos. Na verdade, nem precisamos né, sabemos y = ± x faz ângulo de π / 4 com o eixo x . Então temos:

D = ( x , y | 0 r 2 ; - π / 4 θ π / 4 }

Isso também vai alterar a função que estamos integrando! Se liga:

4 - x 2 - y 2 = 4 - r cos θ 2 - r   s e n   θ 2 = 4 - r 2

Passo 4

Podemos agora montar a integral, sem esquecer do Jacobiano:

V = - π 4 π 4 0 2 r 4 - r 2 d r d θ

Agora é só resolver e partir pro abraço!

V = - π 4 π 4 0 2 4 r - r 3 d r d θ =

= - π / 4 π / 4 2 r 2 - r 4 4 0 2 d θ =

= - π / 4 π / 4 8 - 4 d θ =

= 4 - π / 4 π / 4 d θ =

= 4 θ - π / 4 π / 4 =

= 2 π

Resposta

2 π

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