Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFPE, Calculo 2, 2º EE - 2018.2, Questão 4

Considere o sólido limitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1 ,   x = 1 , x = - 1 ,   y = 0   e   y = 4 .

  1. Escreva a integral que fornece o volume sólido.
  2. Determine o volume do sólido.

Passo 1

Bom, essa questão é bem direta naquilo que quer. Pra a gente saber resolver, é bom sabermos

A vista superior nos ajuda a perceber como o paraboloide está confinado entre os planos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabendo agora nossa região, é só ter a sagacidade de ver que o sólido procurado tá limitado pelo paraboloide e pelos planos destacados.

Passo 3

  • Como a integral dupla calcula o volume de tudo oque está abaixo da função até o plano xy, temos que tirar o volume que está abaixo do eixo z = 1 !
  • Assim ficamos com uma diferença de duas integrais. A gente obtém ele pelo volume abaixo do paraboloide, menos o volume que esta abaixo do z = 1 , dentro da região do retângulo que x e y fazem.
  • Com x variando de -1 a 1, e y de 0 a 4.

Então a gente fica com a integral como?

V = 0 4 - 1 1 2 + x 2 + y - 2 2 d A -   0 4 - 1 1 1 d A

A primeira é o volume de tudo abaixo do paraboloide, entre os planos. A segunda é o volume abaixo do plano z = 1 , que nós não queremos.

Passo 4

(b) Então agora a gente resolve e corre pra nota 10!

V = 0 4 - 1 1 2 + x 2 + y - 2 2 d A -   0 4 - 1 1 1 d A =

R 2 d A +   R x 2 d A + R ( y - 2 ) 2 d A -   R 1 d A =

Um monte de integral tranquila, né? Agora é so aplicar os intervalos de volta e show!

- 1 1 1 d x 0 4 1 d y +   - 1 1 x 2 d x   0 4 1 d y + - 1 1 1 d x 0 4 y - 2 2 d y =

= 64 3

Resposta

a   V = 0 4 - 1 1 2 + x 2 + y - 2 2 d A -   0 4 - 1 1 1 d A

b 64 3

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